高观点下的斐波那契数列｜数学家的兔子（二）

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高观点下的斐波那契数列｜数学家的兔子（二）

原创 南山莲子 和乐数学 2023-01-24 22:57 发表于广东



矩阵与通项公式



求数列通项是中学数学中的一个焦点。对类似于(1)这样非线性的递推公式，通过特征方程的根来做算得上“黑科技”。

但为什么这样可以？这个方程从哪里来？一个方法是通过线性方程组，用矩阵及其特征值和特征向量来解释。

第一步：线性化



第二步：利用特征根和特征向量





连分数与黄金分割的逼近

在上一篇文章中，我们利用斐波那契数列的通项公式证明了斐波那契数列的后一项与当前项之比逼近于黄金分割比。



可注意到，这是用一列有理数逼近一个无理数。

求无理数的有理近似的一个常用方法是利用连分数展开。所以我们这里考虑下的连分数表示。