关于数学定理

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关于数学定理

作者：单治超 | 发表时间：2023-7-6 10:58 | 个人分类：数学 | 系统分类：教学心得

    定理在数学中的地位不言而喻。提起“定理”二字，人们立刻就会想到它是数学的专有名词。其他学科中也有定理，例如物理中的动量定理，但是肯定没有数学中的定理多，而且往往也以数学公式的形式呈现。

    数学中的真命题并不是都叫做定理（theorem），还有命题，引理，推论，等等。能叫“定理”的往往比较重要，证起来不太容易，用起来很有效。

    职业数学家的任务就是证明定理，其他用数学的人主要是用定理做事情，因为用数学做事情必须依靠定理做保证。于是很自然的问题是：在学习数学定理时，定理的证明有多重要？

    从数学类专业的情况看，基本每个定理都要证。而非数学类专业学数学，有的定理就不加证明地予以接受了。学习定理的证明当然是非常有价值的事情。因为如前文所说，定理往往不好证，自己证很可能证不出来。读懂证明才知道定理成立的本质原因，对于应用定理也有实质性的帮助。但是读懂定理证明需要耗费时间，而且梳理清楚逻辑不代表读懂，所以要视学习者的具体情况决定是不是投入精力去读懂证明。

    下面举一个定理的例子来说明定理的强大和定理的不平凡：

    如果 f'(x) 在 (a,b) 上大于 0 ，那么 f(x) 在 (a,b) 上是增函数。

    这条结论高中生是要掌握的，高考中要必考。高中教材中也给出了几何解释，但是不可能给出严格证明。这条定理非常强大：单调性本质上是一个二元不等式，这条定理把单调性判别转化为了一元不等式的证明。如果不用这条定理，直接用定义去判断函数的单调性，将会是极其困难的事情。

    但是这条定理的证明却不平凡，它依赖于拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的证明依赖于罗尔中值定理，罗尔中值定理依赖于闭区间上连续函数最值的存在性和导数的极限定义，极限的保号性。所以当我们应用这条定理感觉比较方便时，应该知道背后隐藏了大量已经完成的工作。