Weil ：数论今昔两讲（上）

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Weil ：数论今昔两讲（上）

作者 | A. Weil

来源 |《物不知数》

原文：Weil, Two Lectures on number theory, past and present，收录于Weil全集的[1974a]。

本译文原载于《数学译林》试刊（1981）83-90，及（1984）72-78，由王启明先生译出，张耀成先生校对。对部分术语与表达已按目前较为通行的用法略作修改。未加特别说明的人物肖像均取自 Wikipedia 。

（p.s. 从 Weil 对解析数论与概率论的观念中也许能感觉到，像他这样伟大的数学家也有不可避免的局限性。）

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为纪念已故的 J. F. Ritt 教授, 其遗孀捐献了一笔基金开创了 Ritt 讲座。在哥伦比亚大学数学系的倡导下, 这个讲座在哥伦比亚大学举行。1972 年 3 月我所做的下列两个演讲就是此讲座的一部分。读者将会看到, 它们实际上是“报告”而不是正式的演讲, 我并不想修改它那有点浪漫的格调。这里刊出的是根据录音稍加整理而成的稿子。我只在第二讲中添加了一点东西。当时由于时间的关系, 内容不得不进行压缩。我要感谢 Clemens 教授及其在哥伦比亚大学的同事们, 他们组织这次演讲, 录了音而且打印了记录。

第一讲

我希望你们一看到这个演讲题目, 就立即意识到, 两讲是根本不能概括它的。乐观点说, 一个全面的概述也许需要两门历时各一年的课程。因此, 我的题目不应使人产生错觉, 因为显然没有人能在两次演讲中对这个题目谈得面面俱到。我要讲的中心思想是过去 300 年数论的连续性, 以及这样一个事实：今天我们所做的不外乎是 17 世纪 Fermat 开创数论之后一些最伟大的数学家的工作的直接继续。


(Fermat , 1601-1665)

那个时代的数学家, 特别是数论学家, 是很舒服的, 因为他们面临的竞争是如此之少。但对微积分而言, 即使在 Fermat 时代, 情形也有所不同, 因为今天使我们许多人受到干扰的东西（例如优先权的问题）也困扰过当时的数学家。然而有趣的是, Fermat 在整个 17 世纪期间, 在数论方面可以说一直是十分孤独的, Euler 在下一世纪大部分时间（即在 Lagrange 加入之前）也是如此。后来来了个 Legendre , 然后又出了个 Gauss , 但 Gauss 已经是19世纪的人了, 所以应该属于近代的范畴。值得注意的是, 在这样一个长时间段中, 事物的发展是如此缓慢而从容, 人们有充分的时间去考虑大问题而不必担心他的同伴可能捷足先登。在那个时候, 人们可以在极其和平宁静的气氛中研究数论, 而且说实在的, 也过于宁静了。Euler 和 Fermat 都抱怨过他们在这个领域中太孤单了。我再说一次, 这与微积分的情况非常不同, Fermat 对此也有决定性的贡献。在数论中, Fermat 是孤单的, 这也是他没有将他的成果及时写出来的原因之一。有一段时间他试图吸引 Pascal 对数论产生兴趣并一起合作, 但是 Pascal 不是搞数论的料, 当时身体又不好, 后来他对宗教的兴趣超过了数学, 所以 Fermat 没有把他的东西好好写出来, 从而只好留给了 Euler 这样的人来破译。


(Euler , 1707-1783)


(Gauss , 1777-1855)

在往下讲之前, 也许我应该为数论是什么讲几句话。英国诗人 Housman 有一次收到一个文学杂志发出的一封愚蠢的调查信, 信中要求他为诗歌下个定义。他的回答是, “如果你叫一只狐狸去定义什么是老鼠, 它也许不会。但是他一旦闻到老鼠的味道, 它能知道这是老鼠。”当我闻到数论时, 我想我是知道的, 而当我闻到别的东西时, 我想我也能辨别。例如, 数学中有一个学科（这是一个非常好的、完全正宗的学科）被不恰当地称作解析数论。从某种意义上说, 它是 Riemann 开创的, 而 Riemann 本人根本不是数论学家；后来 Hadamard 等人, 再其次是 Hardy 把它发扬光大, 这些人也都不是数论学家（我与 Hadamard 很熟）：在我看来, 解析数论不是数论, 而是分析。说它是分析（即处理常常出现像“素数”这种数论名词的特殊问题的分析）是因为它主要跟不等式和渐近估计打交道；在我看来, 这正好把它与数论区分开来。我把它归到分析的门下, 正如概率论只是积分论的一个分支, 只不过有自己的一套术语罢了。我想举出一个典型的例子来说明数论学家与分析学家（例如 Hardy）之间的深刻差别。Hardy 在他写的关于 Ramanujan 的著名著作中必然要讲到 Δ 函数（即模函数理论中的判别式）的“Ramanujan 猜想”, 后面我们还要再次提到这个猜想, 现在只要知道这是一个从椭圆函数理论中产生的特殊函数就可以了。把 Δ 函数展成幂级数:



这个故事可以用来说明数论学家与其他数学家的口味的本质差别。令人印象深刻的是, 所有那些搞过数论的人在提起数论时都有一种激情。你会在 Euler 的著作中读到很多这种富有热情的话。Gauss 的著作中也有, 而 Hilbert 的数论报告的前言中则更多。Eisenstein 曾写过一本书总结他对数论和椭圆函数论的贡献。Gauss 为这本书写了序, 我们前面已经看到这两个学科关系非常密切。Gauss 写道：“这些领域特别的美吸引了每一个活跃在这方面的人，但是没有谁比 Euler 流露得更多。他的每一篇数论论文总是要反复提到他从事这项研究的乐趣以及与实际应用关系较密切的课题给数论带来的可喜变化”, 他引用了 Euler 收到 Lagrange 关于椭圆函数（Gauss 显然对这两个学科不加区别）的一篇论文时所说的话来说明 Euler 的这种激情：Euler 写道, “当我听到 Lagrange 改进了我的工作, 我的钦佩是无限的。”


(Eisenstein , 1823-1852)






（Eisenstein , 1847 , 《高等算术与椭圆函数专著》；Gauss 的序言）

写完这段话, Euler 又着手改进了 Lagrange 的工作, 这是一篇漂亮的论文, 写在 Euler 年迈并且双目失明之时：他先失去一只眼睛, 不到 60 岁就双目失明了。那时他在圣彼得堡有几个助手, 他已练成了在助手帮助下工作的本领。大家知道, 他的全集还在出版过程中：目前已超过了 60 卷, 而且还没有完, 其中数论占了将近 8 卷。


(Lagrange , 1736-1813)

作为他的工作的一个例子, 我在这里为你写下一个可以在 Euler 那里找到的一个公式:



它包含在 Euler 1749 年在柏林科学院宣读的一篇论文中, 但这篇论文直到 1768 年才印出来；论文（是用法文写的）的标题是 Remarques sur un beau rapport entre les séries de puissances tant directes que réciproques 。我希望你们许多人已经看出来, 这正是 ζ-函数的函数方程。在左边, 形式上是 ζ(1-n)/ζ(n) , 只是 Euler 写成交错项使得这个级数较易处理, 将 ζ(n) 乘以 1-2^(1-n) , ζ(1-n) 乘以 1-2^n 就可以得到它, 右边是 Euler 发现的 Γ 函数。Euler 对每个正整数 n 证明了这一公式（用所谓的 Abel 求和法使得左边分子中的发散级数有意义）, 并推测该公式对所有的复数都成立。

这只是 Euler 在这个领域中的发现的一个例子。他是以师从 Bernoulli 兄弟开始他的数学生涯的, Bernoulli 兄弟无疑是分析学家而不是数论学家。可以肯定的是, Euler 的血液中已经有了它的成分, 但幸运的是, 在他还年轻时（不到 20 岁）就离开巴塞尔去了圣彼得堡, 因为别处似乎找不到工作。圣彼得堡刚刚由彼得大帝建立起来。彼得大帝成立科学院的计划留待他的遗雷来完成。Bernoulli 兄弟中年少者 Nicolas 和 Daniel 已经到了那里：Nicolas 到达不久后就去世了。Euler 接到聘书后乘船沿菜茵河下到美因茨, 然后主要靠步行到了卢贝克, 接着乘船前往圣彼得堡, 当时圣彼得堡比一个繁华的村庄大不了多少；一切都还是相当混乱的。Euler 很快就有了优厚的薪俸和一个方便的工作环境。幸运的是, 这里有个叫 Goldbach 的德国人, 他的名字现在只是由于 Goldbach 猜想（每个偶数是两个素数之和）才为人所知。他是个业余数学爱好者, 对数学以及其他许多东西, 比如语言学, 都很有兴趣。早先他在意大利认识了 Nicolas Bernoulli , 然后在俄国定居下来。Bernoulli 兄弟以及稍后的 Euler 来到俄国, 都是他努力的结果。科学院非正式地雇佣他担任秘书, 他基本上居住在莫斯科。我们保存有他与 Euler 和 Bernoulli 兄弟的通信。Goldbach 很喜欢在业余搞搞数论, 显然这些信都推动了 Euler 在数论中的一系列发现。Euler 在发布这些结果之前总是先写信告诉 Goldbach 。

应该指出, Euler 刚开始研究数论时, 除了 Fermat 那些神秘的命题外, 什么东西也没有。Fermat 经常声称“我证明了这个”、“我证明了那个”。对于 Fermat 方程

                              x^n+y^n=z^n

（后面还要详细讨论此方程）他似乎也是这样说。除了此方程无（非平凡）解的断言, 在 Fermat 的诸多命题中有一个是说, 形如 p=4n+1 的素数可以写成 x^2+y^2 , 还有一些命题论述了可以写成 x^2+3y^2 和 x^2+2y^2 的素数应满足的条件。有一个命题说, 每个正整数可以写成四个平方数之和。这些命题迷住了 Euler ：但是他首先必须自己动手建立数论中一些最基本的定理。例如, Fermat“小定理”：若 p 是素数, 则（用近代记号）x^(p-1)≡1(mod p) , 对所有不被 p 整除的 x 都成立。在那个时代研究 Fermat 的著作的人看来, 每个命题都是同样的神秘, 虽然容易对很大数值范围内的所有整数验证其中许多命题的正确性。Euler 不得不白手起家, 做出一些在今天的教科书中都有的东西。这些东西在今天从群或素理想两个观点去看是非常简单的。但他还是花了一些时间在这方面。一开始, 他不知道与 n 互素的整数 (mod n) 是一个群；当然他没有群的概念, 逆元的存在性当初也不是显然的。还有些事实在今天看来是很初等的。例如, 给定一个域（例如, 模一个素数的有限域）, 任何一个代数方程的根的数目不超过方程的次数, 这个事实直到 1760 年才由 Euler 和 Lagrange 证明, 这是 Euler 开始研究数论将近 30 年以后的事情了, 此时他正在更加困难的问题上工作。他不知道问题的难与易。例如, 在他看来, 素数 p=4n+1 是平方和这一事实与模 p 有限域上五次方程至多有五个根这一事实同样地困难。事实上, 他甚至认为前者更容易, 因为它只涉及平方, 而后者有五次方；Euler 仿效 Diophantus 和 Fermat 把次数作为问题分类的第一个因素；当然, 他猜测还存在其他因素, 但不能肯定。

前面谈到, Euler 不得不白手起家。他与 Goldbach 的通信, 记录了他的想法是如何酝酿的, 记录了他是怎样一个接着一个地解决问题的, 读起来引人入胜。他解决了某个问题, 但是需要假定另一些东西。有时他说：“如果我能证明这个, 那么那个也可以证明。”Goldbach 总要加些评语。虽然 Goldbach 似乎并没有贡献什么, 但他一直兴趣盎然, 他这个通信对象在许多年中对 Euler 都是很宝贵的。后来 Lagrange 出来了, 并开始与 Euler 通信：当然, 他是一个第一流的数学家, Euler 从一开始就意识到这一点。

Euler 在纯粹数论方面做了很多年。他的起点是 Fermat 的工作。这个主要课题是, 把整数特别是素数, 写成平方和。比方说 Fermat 的命题：每个形如 p=4n+1 的素数是两个平方数之和：p=x^2+y^2 。Euler 在 1749 年写给 Goldbach 的信中证明了这一命题；他写道, “我终于给出了正确的、完整的证明。” 这个证明很有意思；我来讲一下这个证明并指出它与现在流行的证明的共同点与不同点。但我的时间这样少, 我只想局限在下列情形：

                    p=x^2+3y^2

我们讲这个例子是因为它在某种意义上更能说明问题。Diophantus 已经知道下列恒等式



这个等式保证了两个平方和的乘积还是平方和。这个恒等式来自（大家都知道）



因此这个乘积是两个复数的乘积的模的平方。同样地, 对 p=x^2+3y^2 也有一个类似的恒等式, 只要注意到 x^2+3y^2 是 x+y√-3 的模的平方。Euler 最终意识到这一点而且经常用它, Lagrange 也经常用它。有一次, Euler 特意称赞 Lagrange 在当时大多数人还认为无理数和虚数完全多余的时候就在他的数论研究中很好地用上了它们。这表明, 代数数域的理论可以追溯到相当远；事实上, 人们自然地会猜测, Fermat 是否已用过这类事实。然而, 据我所知, 在他的著作中目前还没有发现这种迹象。

讲到这里, 我们是时候来讨论 Fermat 当时是否真像他自己所说的那样证明了“Fermat 定理”这一问题了：这决不是一个无聊的问题, 虽然我们不能肯定任何答案。这个断言是他写在 Diophantus 的书的页端上的注记：那本书已经找不到了。但他写在书上的话在他去世以后由他的儿子发表了：这件事做得很明智, 因为 Fermat 显然是为了写一部数论的系统著作做准备而写下这些注记的, 但是这部书他一直没有写。注记一开始就说, 一个立方数不可能是两个立方数之和, 一个四次方不可能是两个四次方之和, 他还说, 这件事对于所有大于 2 的方幂都成立。他写道, “我有一个奇妙的证明, 但是这页端太小”。四次方的情形他给出过证明；事实上, 他在关于 Diophantus 的注记中证明了方程

                                  x^4-y^4=z^2

无解, 这显然包含了方程 x^4+y^4=z^4 的情形。我推测（基于我们对他的工作的了解）他对方程 x^3+y^3=z^3 也有完整的证明。这一证明很可能与 Euler 经过多年努力重新发现的详细证明相同。有趣的是, Euler 关于此方程无解的证明是建立在下述假定上的。用近代的语言来说, 这个假定相当于说域 Q(√-3)（三次单位根的域）只有一个理想类。后来, 他证明了这个假定。从 Fermat 写下的东西可以相当清楚地看出, 他已经知道与类数是 1 这一事实等价的事实。如果对 n 次单位根你也作出类似的假定, 那么就不难证明 n 次幂的 Fermat 定理；当然, 我们知道这个假定一般是不成立的。因此, 我们可以设想, Fermat 曾经有一个建立在这一假定（或某个与之等价的假定）上的证明, 但而后又意识到这个假定并非对所有的 n 都成立。事实上, 在他与外国数学家的通信中, Fermat 从未提到过一般的 n 次 Fermat 方程：他反复提到立方的方程。他甚至不大可能认真地考虑过五次方程 x^5+y^5=z^5 , 不只是因为它的困难性, 而且也由于一个我马上就要讲的原因, 这与 Fermat 所属的数学家的气质有关。

许多人认为数学家与物理学家的重大区别之一是：在物理学中有理论物理学家与实验物理学家之分, 而在数学家中不存在这种区分。这一点儿也不对。就像在物理学中一样, 在数学中也有这种区分, 虽然界限不是很分明。在物理学中, 理论家认为实验家就是为他们的各种理论找证据的, 实验家也反过来认为理论家的事情就是为他们提供良好的实验课题。在数学中做实验就是与特定的例子（有时是数值的）打交道。例如, 一个实验也许对 1000 或者 1000 亿以内的整数验证诸如 Goldbach 猜想这样的一个命题。换言之, 一个实验就是严格地处理一些特例, 直到可以认为对一般的命题已经取得了良好的证据为止。做实验有很多方法, 有些方法用到的理论知识一点儿也不少；例如, 现在有人对 GL(n) 很感兴趣。他们先用 n=1 做实验（在许多问题中也已经是不容易的了）, 然后对 n=2 实验（这已十分困难）。然而, 一个第一流的数学家必须在两方面都强才行, 但是还是有气质上的的差别。Fermat 显然是理论家。他感兴趣的是一般的方法和原理而不是某个特殊的情形, 这反映在他所有的工作中, 不论是分析还是数论。反之, Euler 则基本上是一个实验家。当他猜想到一个一般定律时, 他会很高兴, 他愿意花大量的时间去证明它。但是, 如果找不到证明, 而只得到一些令人信服的实验证据, 他几乎也会感到同样的欣慰。因此, 他的研究工作有着朝各种可能的方向蔓延的趋势。Fermat 是理论家, 他总是谈论“我的方法”, 因此清晰地表明了他的数论兴趣的范围。从本质上看, 他感兴趣的是二次型（主要是二元的）, 即后来 Gauss 所大大发展了的观点下的二次数域的理论, 他感兴趣的另一个方面则是 Diophantus 方程, 但总是限于亏格为 1 的情形。当 Fermat 谈到“我的方法”时, 这通常指处理现在称为椭圆曲线这一类问题的方法, 方程 x^4-y^4=z^2 和 x^3+y^3=z^3 定义了这种曲线, 但 x^5+y^5=z^5 不是, 因此超出了 Fermat 通常工作的范围。这是椭圆曲线与数论的关系的首次呈现, 而且是很自然地出现的。一些最有意思的方程是兮格为 1 的。当然, 只有在进行积分以后才会产生椭圆函数, 在 Euler 和 Fermat 眼中, 微积分与数论的公式之间似乎有一道鸿沟, 而从我们今天的观点来看, 这道沟已经不复存在了：我们现在知道如何架这个桥。值得注意的是, Euler 对纯粹数论产生了很大兴趣, 特别是对证明 Fermat 定理, 这一问题包括了特别困难的兮格为 1 的方程, 他还从另外两个观点对此发生兴趣。其中之一与方程密切相关。似乎 Leibniz 已经猜到到积分




(Jacobi , 1804-1851)

Euler 对这些东西的兴趣非常之大, Lagrange 也是如此, 但是并没有怎么想到与数论可能的联系, 倘若 Euler 当初从这一观点研究过 Fermat 关于方程 x^4-y^4=z^2 的无解性的证明, 他会发现, 这个证明包含了这个椭圆函数复乘 1±i 的公式。你只要把 Fermat 的公式放到一起就看出来了。如果你重复这一过程, 就得到加倍。

Fermat 的做法是这样的。首先, 有一个简单的公式给出 1+i 的复乘, 这就把你送到同一条曲线上, 但是关于有理数域则是另一条曲线了。再用 1-i 替换 1+i 重复这个过程, 就把你带回到原来的曲线。从某种意义上说, 他得出了原来曲线上的初始点的加倍公式2)。而且, 因为这个曲线的特殊性质, 这个程序也可以反过来。从曲线上一个给定的点出发（假定有一个有理点）, 你可以用 1-i 除它, 再用 1+i 除, 也就是把它除以 2 ；这在曲线上给出了一个坐标更小的点, 这就是“无穷递降”法, 这会导致矛盾, 因为一列无穷多的正整数不可能总是递减。这就是 Fermat 的证明。如果 Euler（或 Fagnano）想到这么看问题, 他们早就可以从 Fermat 的数论工作中认出他们的公式了。现在再来看看 Euler 的工作的其他方面, 其中有些也与椭圆函数有关。有一个课题是 Euler 的前人从没有考虑过的：他一生都喜欢摆弄级数, 对它们进行形式的运算。显然这起源于 Leibniz 级数



他是在 1736 年发现这个公式的：他立即告诉了已回到瑞士的朋友 Daniel Bernoulli , 后者为之深深打动。Euler 很快又解决了所有偶数次幂的情形:



但是, 对于奇数次幂, Euler 始终不能成功, 其原因令 Euler 困惑不解。这样, 他就与现在称为 ζ-函数的东西混熟了。他注意到, 这个级数可以写成无穷乘积



并且形式地将它展开。他有许多这种级数和乘积；有时他得到一些显示确定规律的结果, 有时得到的则是杂乱无章的东西。在上面这个级数的情形, 他是很成功的, 他计算了至少 15 项或 20 项, 公式的前几项写出来是:



这里的规律对没有受过训练的人来说可能不是一眼就能看出来的。用近代记号, 这就是



我把 x 替换为 q , 是因为自从 Jacobi 以后, q 在椭圆函数论中已经是标准的记号了。各项的幂次构成一个性质简单的级数。Euler 写出 20 项左右时立刻看出其中的规律。很可能他算过 100 项：他很有理由地说, “这是十分有把握的, 虽然我不能证明”：十年后他的确也证明出来了。他不会想到这个级数与乘积是椭圆模函数理论的一部分。这是数论与椭圆函数的联系的又一个例证。他还有一个很有意思的命题。这也是（我们大家现在都已知道）与椭圆函数有关。他说, 证明整数表为平方和的这类定理的最自然的方法当然应该是计算下列级数的方幂:

                x+x^4+x^9+x^16+…

例如, 证明 Fermat 关于每个正整数是四个平方数的和的最自然的办法是给出此级数的四次方的一个公式。而这又是一个椭圆函数的问题, 这也就是 Jacobi 在 Lagrange 的纯算术证明（Euler 本人很快就改进了 Lagrange 的证明）之后很久所给出的证明。

因此, 我们看到, 数论不可避免地要引出椭圆函数论, 并且反之亦然：回顾历史, 这早在 Fermat 的研究中已经很明显了, 而 Euler 的工作更加证明了这一点。Gauss 的早期研究（他没有发表）以及后来 Jacobi 与 Abel 多少是同时的关于椭圆函数的著名工作, 使得这两门学科汇合在一起。这是一个必然的发展, 并且从许多实质性方面来说, 也造成了我们今天的现状, 因为我们今天所要做的就是发展这许多方向, 把它们向前推进, 但是时刻铭记着它们之间的关系。


(Abel , 1802-1829)

（第一讲完，待续。）

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“Hilbert 第 12 问题提醒我们以下三个主题之间的血缘关系, 尽管这个提醒应该是多余的。一是类域论或者数域的 Abel 扩张理论, 这在本世纪初便达到了近乎完成的形式。二是椭圆曲线或者更广泛的 Abel 簇的代数理论, 五十年来一直是一个恢宏茁壮的研究方向。第三则是自守函数理论, 它成熟较慢, 而且仍紧密交缠于 Abel 簇的研究, 特别是其模空间的研究。三者后来经历的发展经常是分离的。

“当然, 这些主题在 Hilbert 的时代才刚从数学全景中分化为个别的理论, 而在 Kronecker 的时代, 它们仅仅是椭圆模函数与分圆域理论的附庸。青年之梦（Jugendtraum）一词见于 Kronecker 在 1880 年写给 Dedekind 的一封信, 其中阐述了他联系虚二次域的 Abel 扩张和带复乘椭圆曲线的工作。由于这些主题交织得如此紧密, 在当时要区隔青年之梦涉及的种种数学几无可能, 尤其是要区隔其中的代数面向和分析或数论面向。或因如此, Hilbert 才会将历史进程中的一个偶然, 兴许也是个必然, 误作是“最紧密的交互联系” (innigste gegenseitige Berührung)。倘若我们试着采取一位老于世故的当代数学家的视角, 来观照青年之梦的数学内容, 对此或能有更允当的判断。

                           —— Langlands ，源于青年之梦的若干当代问题

“The theory of complex multiplication of elliptic modular functions, which brings together number theory and analysis, was not only the most beautiful part of mathematics but also of all science."

“椭圆模函数的复乘理论将数论与解析联系在一起，它不仅是数学中，也是整个科学中最为优美动人的部分。”

                            —— Hilbert

参见







关于 Weil 在第一讲中提及的数学的具体内容，也许可以参考









A. Weil 好玩的数学 2023-06-13 07:03 发表于江西