折纸与古希腊三大作图问题

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折纸与古希腊三大作图问题

原创 大小吴 来源 大小吴的数学课堂 2021-11-11 18:45



“大小吴在前面的文章中曾经介绍过尺规作图与古希腊三大作图问题，我们知道古希腊三大作图问题只用直尺和圆规来求解是不可能的。今天大小吴就来给大家介绍一种看上去比尺规作图更简单的方法——折纸。你大概很难相信用如此简单的折叠技巧就能解决困扰了数学家两千多年的难题。不要惊讶，拿起纸片和我们一起操作吧！

我们还是先来回顾一下古希腊三大作图问题：


尺规作图与古希腊三大作图问题

接着，我们便可以通过折纸解决古希腊三大作图问题的其中两个——立方倍积和三等分角。

1 折纸解决倍立方问题

“倍立方”问题要求把立方体的体积扩大到原来的两倍，本质上就是求作 2 的立方根。

接下来我们就一起动动手，来折出。

● 我们拿出一张正方形纸片，首先我们要将正方形纸片横着划分为三等分（方法有很多，大小吴在这里介绍 1 种：













我们来证明一下为什么这样的折法就能将正方形纸片横着划分为三等分。



● 我们继续将正方形纸片右边界靠下面的三等分点折到正方形内部靠上面的三等分线上，同时要将正方形纸片的右下角顶点折到正方形的左边界上。


（一不小心暴露大小吴是用废卷子在做研究）



证明如下：





2 折纸解决三等分角问题

● 以锐角为例，对于任意 ∠AOB ，作出 ∠AOC=90° ，并在 OC 上任取两点 P,Q 使得 OP=PQ ，过 P 作平行于 OA 的平行线。







● 翻折纸，让 Q 落在 OB 上，同时 O 落在平行线上，将 Q,P,O 的落点分别记为 Q',P',O' 。则 OP',OQ' 就是 ∠AOB 的三等分线。







证明如下：



参考文献

[1]顾森。思考的乐趣 ——  Matrix67 数学笔记[M]。人民邮电出版社，2012 。