微积分在西元前——古典微积分思想分析与探讨

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微积分在西元前——古典微积分思想分析与探讨

作者 : 张与冰

摘要：提起微积分，大多数普通人的第一反应一定是牛顿-莱布尼茨公式。但是，在其被发现至被证明之前，世界上已经有了许多奇妙的构思来求解“积分”的结果。最早可以追溯到西元以前。故称“微积分是人类历史两千年的结晶”丝毫不为过。本文提出了有关极限和微积分思想的思考，探究了将想法落于实际的经典悖论与案例，简述了微积分从思想萌芽开始的逐渐完善的过程。从古希腊、战国时期到第二次数学危机，从庄子对于“无限”的思考到黎曼对于积分的定义，不同的案例都代表着当时人们对于“极限”“微分”“积分”的思考和感悟，突出了牛顿-莱布尼兹公式出现的重要性，也展现了千百年来数学家对于微积分严谨性定义的探索过程，本文试图借此来揭开掩盖在牛顿-莱布尼兹公式下的一条数学文化长河。

关键词：古典微积分，极限，无穷小量，案例

导言

关于用“极限”“微积分”的思想来解决实际问题的案例早有发现：阿基米德用穷竭法求出了大量几何方面的结论，费马用类似于求极值的办法求出了周长一定的矩形面积的最大值，中国的古籍中也有大量的记载。而直到数学被“放置”在坐标轴和函数上以后，人们开始讨论幂函数的曲线与坐标轴所围面积的大小。用微分的方法列出求和式后，问题变成了求幂和。但幂函数始终是一种特殊情况。直到牛顿-莱布尼茨公式出现，我们可以用公式化的“套路”“秒解”之前曾需要用一本书的几何论述来解决的求面积、体积问题。也许，在牛顿-莱布尼茨公式出现以后，之前所有关于此的痛苦尝试都不再有现实意义。但是，每一个对数学问题的思考和探究，都应该有其存在的价值，哪怕只有很短的一个时期，但也成为了微积分发展历程中，很有趣、很漂亮的一部分。

17 世纪以后，微积分在解决绝大部分问题是都能给出正确而简洁的结果，因此被大范围地运用，具有广阔的应用前景，就和当今的量子力学一样。然而，微积分最基础的问题——无穷小量究竟是不是零——并没有得到被大众所普遍认可的解释。这便是第二次数学危机的由来。牛顿曾三次给出“无穷小量”的解释：（1）（1669 年）常量；（2）（1671 年）趋于零的变量；（3）（1676 年）两个正在消逝的量的最终比。但争议依旧存在，不严谨的说明无法使绝大部分人信服。并且要紧的是，这些解释无法消除类似于“阿基里斯跑不过乌龟”的悖论情形。为了完善微积分理论的根基，数学家们试图找出一个精准的定义。

柯西曾以“极限”为核心，指出无穷小并不是固定值，无穷小量是变量，而且是以零为极限的变量。19 世纪 70 年代初，威尔斯特拉斯、康托、狄德金等人建立了实数理论，并建立了极限论的基本定理，逐步完善了微积分的基本理论。

参考资料

笔者查阅了部分涉及微积分发展史的书籍和资料，宏观上了解了微积分发展,找到了一些与微积分有关的案例。例如，在克利福德·皮寇弗的《数学之书》中曾详细介绍了几种古典微积分的经典案例，给本文的案例分析提供了资料参考来源。

而卡尔·B·波耶的《微积分概念发展史》详细介绍了人类对于“极限”“无穷小量”的理解的变化，辩证分析了微积分理论未完善之前，人类对于微积分的正确尝试和其中存在的漏洞。其中曾详细写出了古希腊时期的微积分思想的发展过程，也指出古典微积分在无穷小量定义中的严格性问题，指出其中的限制性条件——“基于科学测量中所许可的近似性和一般通用的迭置效应理论之上”。

研究发现

极限的思想

案例一：取之不竭

《庄子·天下篇》记载道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一尺长的短木棍，每天取其剩余长度一半的短木棍，那么永远不会被取完。用数学语言我们可以这样转述：假设木棍长度为“1 米”，那么第 n 天时能取到长度为“1/2^n 米”的短木棍，剩余长度也为“1/2^n 米”。即使 n→+∞ ，剩余的长度也不会为 0 ，那么依照这种做法，短木棍永远无法被取完。当然，这只是一种“思想实验”，无法以现实的实验加以证明。

案例二：芝诺悖论

公元前5世纪，芝诺提出了“二分法”，其中一个悖论的版本说的是：假设一个人从 A 地前往 B 地，将 AB 间的距离视为“1 米”，人（视为质点）的速度为 1 米/秒（不妨设该过程在一维下进行）。取 AB 之间的中间点 C ，将 BC 间的距离视为“1/2 米”，取 CB 之间的中间点 D ，将 DB 之间的距离记为“1/4 米”。显然，他在抵达 B 地的过程中，一定要经过每一个中点，但中点是无穷个的，在他抵达某一个中点的时候，他一定还需要抵达下一个中点。所以此人看似离终点越来越近，但他却“理论上”永远无法到达终点。这和常识是矛盾的，通过计算知道人在 1 秒后就可以抵达终点。

案例分析

考虑该式：

lim(n→+∞) (1/2 + 1/4 + … + 1/2^n) = 1

这个式子可以看作是无限个 1/2 的幂次的和。用它来解释以上两个案例：

(1) 庄子构想对一个短木棍进行无穷次分割，每天取一个可能长度极小但永远不等于 0 的短木棍（即总可以取到一截木棍）。而该式说明了，实际上，即使可以一直取下去，取的长度之和也只是无限趋近于“1 米”，而不会超过“1 米”，即短木棍的长度始终是有限的。

(2) 在芝诺的演算中，此人需要走无限次才能抵达终点，但是所花的时间总和却是无限趋近 1 秒的，在极限的运算下，最后花的时间为 1 秒。悖论的存在即在于，这样的操作看似是无限次的。但是，这种操作间隔的时间会无限趋近于 0 ，操作（即人每一次经过一个中点）的时间之和是有限的。而当我把演算的方法换成距离除以平均速度（或者思考 1 秒后此人走的路程刚好等于 AB 两地）的时候，悖论就不存在了。

特别指出，芝诺悖论在物理学上有相应的解释。物理学指出：时间和空间不是可以无限分割的，即总有一个微小的时间里，这个人前进了一个微小但不是“无限小”的距离，到达了 B 点，当空间、时间都是离散的时候，从甲地前往乙地所需要的跨步数就一定会是有限的。但是，若把芝诺的悖论抽象为数学的表述，物理学的解释就行不通了。正如马赫在《热学原理》中提出：“在数学上总是有意义的，而不符合感觉器官的能力为感觉下界所限。”最初对于无穷小量永无止境的争论，实际是因为物理学中的时间和空间无法分割的性质，故我们不能用时间或空间来举例定义“无穷小量”而完全符合其性质，更不用说其他的现实对应之物。因此，物理学的解释显然不能揭示其本质。其本质应是从数学角度来看无限和有限的关系——此两例的关键都在于：用无限的方法取出的结果是有限的。

从这里看出，战国时期和古希腊时期就已经有了对“极限”的思考。但悖论表明此时极限的“雏形”还存在着很明显的漏洞。至少无穷和极限并不是能从语言上简单描述的，否则就会产生逻辑上的悖论和“取之不尽”这样正确但难以接受的论断。

微积分的思想

案例一：幂势既同，积不容异



通过这样“等价”的方法，我们将求球的体积转化为求圆柱、圆锥的体积。类似的，古希腊人就一直在追求“可方形化”来求圆形的面积，比如希波克拉底提出的月形谜题：直角三角形两边延伸出两个月形面积的总和恰好与直角三角形的面积相等。他证明出了三种月形化为方形的例子，但是，林德曼于 1882 年证明不可能完成对于所有月形的证明。

案例二：阿基米德“穷竭法”

阿基米德（公元前 287 - 公元前 212）曾在《阿基米德方法》中利用作一系列的内接三角形去穷竭（逼近）弓形的办法，得出“抛物弓形面积是同底等高的三角形的 3/4 ”的结论，在《圆的度量》一书中证明球面的面积是大圆面积的四倍。而阿基米德推出这些正确的结论用到的穷竭法，蕴含着现在微分的思想。

现给出阿基米德求球表面积的方法（已知其体积）：把整个球体分切成无数的锥体，每一个锥体的底面都是球体表面积的一小部分。当这些锥体不断进行分切时，每一个锥体的底面都越来越小，高趋近于球的半径，则我们有：SR/3=4πR^3/3 ，则解方程可以得到 S=4πR^2 。

穷竭法最早可追溯到毕达哥拉斯学派提出“面积贴合理论”，而类似于求体积和面积的方法在古代中国也有许多经典的案例，比如《九章算术》（三国刘徽注本）中有“圆田术”的记载——“一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂”，弧田的计算上，注称“割之又割，使至极细，但举弦矢相乘之数，则必近密率矣”。

但我们要注意到，这时候通过切分使其趋近于一个可以计算的图形的方法，并不是万能的。比如，若将一个正方形的内切圆的边长无限逼近于该正方形分割成的小正方形的边长和，那么就可以得到 π=4 这样荒谬的结论。实际上我们可以看到，之所以可以用微分的思想来求面积、体积，是因为在上述“无限划分”的构造下，面积（二维）的误差可以忽略不计，类似于 lim(n→+∞)n×(1/n^2)=0（1/n^2 是 1/n 的高阶无穷小），而上述求长度（一维）的方法，会造成误差产生类似于 lim(n→+∞)n×(1/n)=1 的差别。

类似“翻车”事件还有 Schwarz 求圆柱体表面积的做法，戏谑地说明了简单地使用内接多面体的体积来近似曲面的面积不可行。

案例三：费马求最大值

费马在《求最大值和最小值的方法》中给出了求周长恒为 2L 的矩形的面积最大值的方法：设矩形长为 x ，宽为 L-x ，则面积 S(x)=x(L-x) ，令长度减少一个量 e ，则面积改变量为



除以 e ，令其商为零，即：2x-L-e=0 。

令 e=0 ，得 2x-L=0 ，x=L/2 ，即长与宽相等时，所得的矩形面积最大，即对应的正方形的面积最大。整个过程可以看成找一个点 x ，使得在 x 周围一个极小的区域内，面积的改变量几乎为零。

易知，这个结论是正确的。用现代的语言分析可以知道，费马在做的事情就是求极值点。使 e=Δx ，当 Δx→0 时，该式即为 S(x) 的导函数，当 2x-L=0 时，对应的 x 为 S(x) 的极值点，即为可能的最大值。

但和这种表述不一样的是，费马先除以 e 后令 e=0 ，得出一个正确的结果，但是除数一定不能为 0 。虽然不是同时作用的，但在表述上还是类似于倾向“无穷小量等于 0”的结论。

案例四：数字幂求和的工作

（1635 年）意大利数学家卡瓦列里利用不可分原理证明了等价于



的结果，这里的不可分量原理过渡于古希腊的“穷竭法”，而对牛顿、莱布尼茨提出的“微分”也有启发作用。不可分量原理指出：“线段是由无数个等距点构成，面积是无数个等距平行线段构成，体积是无数个等距平行平面构成，这些点、线段、平面是长度、面积、体积的‘不可分量’。”这里的不可分量来源于古希腊的德谟克利特的原子论，认为原子是不可分的、可以刻画宇宙一切物质的原子。

而同时，费马也证明了



从而借助微分的思想“得出”了函数 y=x^k 的图像与 x=0 ，x=a（a＞0），y=0 所围图形的面积 S=a^(k+1)/(k+1) 的结论。这看似是后面 Newton-Leibniz 公式的特殊情形。

但直到 1654 年，帕斯卡才在《数字幂求和》中才严格证明了上式,并且表示，如果没有运用极限的概念，则无法证明该式。至此，微积分已经在一些代数的特殊案例上有了很漂亮的结论，推动了 Newton-Leibniz 公式的出现，利于丰富牛顿在 17 世纪对于古典微积分的阐述。

古典微积分的发展

无穷小量的探讨

在（1671 年）《流数法和无穷级数》中，牛顿对于这种“极小分量”使用了一种“与众不同”的描述。他把变量看作是由点、线、面的连续运动所生成的。虽然是一种几何层面抽象的概念，但是“运动”终于引入了“无穷小量”的概念当中。

而此时，莱布尼茨看出了“求积”和求和的关系，在 1675 年的手稿中第一次使用了来表示这种“积”的关系，并给出了幂函数的微分和积分公式。1677 年，在一份手稿中明确写出了微积分基本定理。

随后，又有牛顿的《曲线求积术》（1691 年），其中对于无限小量的表述，大致为“消失量的最终比严格地说并不是最终量的比，而是这些量无限减小时它们之比所趋近的极限，并且虽然它们能比任何给定的无论什么差值都接近于它，但在这些量无限减小之前，既不能超过也不能达到它。” 通过比值的描述，牛顿很巧妙地避开了无穷小量的探讨。

此时，魏尔斯特拉斯严谨的 ε-δ 语言至关重要，它重新定义了极限、连续、导数等基本概念，让“无穷小量”得以从抽象概念转化为可以用数学语言表述的概念。

牛顿-莱布尼茨公式的闪耀

1677 年，牛顿-莱布尼茨公式提出，结束了之前长达千年的古典微积分的问题探讨。恩格斯曾把 17 世纪下半叶微积分的发现，视为人类精神的最高胜利。

它将之前所有看似巧妙的结论里的规律总结为一个公式，使得微积分的思想能够运用在更多普遍的事例上。

英国学者李约瑟在其编著的 15 卷《中国科学技术史》中正式提出了李约瑟难题——“尽管中国古代对人类科技发展做出了很多重要贡献，但为什么科学和工业革命没有在近代的中国发生？”其中一个原因是“传统重实用轻理论的影响”。从本文最初的几个案例中看到，微积分的思想很早就已经出现了，但是只是注重在具体案例中的应用，比如求圆的面积。而到牛顿、莱布尼茨提出微积分这个概念体系，已经是十七世纪的事。如果说“微积分是人类历史两千年的结晶”，那么在这两千年中，最具有挑战性的应当是可以概括一切结论的规律——牛顿-莱布尼茨公式——的发现。

可积性理论的发展

等微积分逐渐完善后，我们来看（1854 年）Riemann 积分的定义：

S 是函数 f 在闭区间 [a,b] 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的 ε＞0 ，都存在 δ＞0 ，使得对于任意的取样分割 x0,x1,…,xn ，t0,t1,…,tn ，只要它的子区间长度的最大值 λ≤δ ，就有：



从这里开始，函数的可积性可以准确地从数学语言表示出来，而非流于直观、抽象的描述上。在很多古代中国和古希腊的案例中，不妨认为从连续的数学量中进行某种连续分割，就可以得到“微分”，类似于在化学反应中原子是最小的粒子一样。但是连续函数在函数中是极为特殊的一部分，就好比有理数在实数中是极小一部分一样，甚至可以说“测度为 0 ”，同样，即使是 Riemann 积分，也只是适用于一类很特殊的函数。

《工程数学实变函数与泛函分析》的引言中写道：

“在 Riemann 积分中，要想逐项积分，一般需要一致收敛来保证。但这一要求，常常或是得不到满足，或是招致繁杂的验证，这就在很大程度上限制了 Riemann 积分的应用。Riemann 积分之所以有这样的缺点，究其原因，它主要是针对连续函数或“不太间断"的函数而定义的。”

从这里我们看出，即使牛顿-莱布尼茨公式是伟大的，但那也绝对不会是微积分的终点。

总结

“无穷是个新世界。”当争议无法停止时，我们就应该明白，我们不能再用以前用来研究有限情景的思维来研究无穷的事物。而在一切变得明了之前，在牛顿-莱布尼茨公式出现以前，在无穷小量被准确地描述以前，所有尝试以微积分的思想来解决问题的人犹如在黑夜里行走，他们用无止境的思考换来了“有理”的悖论和巧妙的构造。这些思考是黑夜里的一点点星光，直到月亮出现，月明星稀，但是，星星依旧值得为人称道，至少它微弱地照亮了公元前微积分的世界。世界公认的是，把耶稣诞生之年作为纪年的开始，那么抛去宗教色彩不谈，我们甚至可以说，微积分的思想在神出现以前就已经产生了。

参考文献

[1]卡尔·B·波耶.《微积分概念发展史》[M].上海:复旦大学出版社,2007

[2]克利福德·皮寇弗.《数学之书》[M]重庆大学出版社,2015

[3]董加礼.《工程数学实变函数与泛函分析》[M].吉林教育出版社,1986

[4]宋际平,龙述君.《大学文科数学》[M].北京邮电大学出版社,2011

[5]张顺燕.《微积分的思想和方法》[M].中央广播电视大学出版社,2001

[6]常庚哲，史济怀.《数学分析教程》[M].中国科学技术大学出版社，2012

原创 张与冰 好玩的数学 2023-07-25 11:34 发表于江西