在 1900 年的巴黎国际数学家大会上,伟大的德国数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)做了一场鼓舞人心的演讲——《数学问题》(《Mathematical Problems: Lecture delivered before the International Congress of Mathematicians at Paris in 1900》)。在这次演讲中,希尔伯特向全世界的数学家提出了 23 个未解的数学问题,为数学界的未来发展提供了方向。这些问题涉及多个数学领域,包括代数、数论、几何、拓扑等。他的目标是激发数学家们探寻这些问题的解决方案,从而推动数学知识的发展和进步。
偶尔会发生这样的情况:我们在不充分的假设下或错误的意义下寻求解决方案,所以没有成功。这时问题就来了:在给定的假设或在所考虑的意义下,证明解的不可能性。古人曾做过这种不可能的证明,例如,他们证明了等腰直角三角形的斜边与对边的比率是无理数。在后来的数学中,关于某些解的不可能性问题起着突出的作用,我们通过这种方式看到,那些古老而困难的问题,如平行公理的证明、化圆为方、或五次方程根式解的求解,最终都找到了完全令人满意和严格的解决方案,尽管这些解决方案与最初预期的意义不同。这一重要事实以及其他哲学原因可能使每个数学家都有这样的信念(尽管还没有人以证明来支持这一信念),即每个确定的数学问题必然能够获得确切的解决,无论是以实际直接回答了问题的形式,还是以证明其解的不可能性——会导致所有尝试的必然失败。考虑任何一个确定的未解决问题,例如欧拉-马斯刻若尼常数 C 的无理性问题,或者形式为 2^n+1 的质数存在无穷多个这样的问题。然而,无论这些问题在我们看来多么遥不可及,无论我们在这些问题面前多么束手无策,但我们仍然坚信,它们的解决方案必能通过有限步骤的纯粹逻辑过程得出。