对正整数\(a,b\)及素数 \(p\), 有 \(p\mid ab\implies (p\mid a)\vee(p\mid b)\)

elim

引理： 记 \(d=\min E\,(E=\{d =ua+vb: u,v\in\mathbb{Z}, d > 0\}),\)
\(\qquad\;\gcd(a,b)\) 为 \(a,b\)的最大公约数, 则 \(\gcd(a,b)=d\).
证： 取\(u_0,v_0\in\mathbb{Z}\)使\(d=u_0a+v_0b\). 易见 \(\gcd(a,b)\mid d\)
\(\quad\)作带余除法 \(a=qd+r\,(0\le r< d).\) 若 \(r=(1-qu_0)a-qv_0b>0\),
\(\quad\)则 \(d>r\in E\),与 \(d\) 的最小性矛盾, 故 \(d\mid a\). 同理 \(d\mid b\).
\(\quad\)可见\(d\le\gcd(a,b)\mid d.\quad\square\)

题： 对正整数\(a,b\)及素数 \(p\), 有 \(p\mid ab\implies (p\mid a)\vee(p\mid b)\)
证： 不妨设 \(p\not\mid a\). 则因 \(p\)是素数, 有\(u,v\in\mathbb{Z}\)使\(up+va=1\)
\(\quad\) 于是 \(p\mid ubp+v(ab)=b.\quad\square\)

elim

跟各位打擂台，看看楼上命题最简洁严谨的论证是什么样子的。

elim

这个主贴介绍了初等数论中可以说是最基础的一点内容以及证明。摆到这个版块已经显得莫测高深？可见这个版块的平均程度真的够差。以致于让刘功勤这种文盲有了首席科学家的感觉。最近这阵子版块争吵互怼热度提升，但争论内容水平也在上升，反而让首席白痴看到了自己的弄斧选错了地方，嘿嘿，真没想到。

版块平均水准，没有管理员的把关，就要靠网友自己了。在乎这个版块的网友自己要追求精进，大家一起提升帖子水平，争取形成好的版块文化和风气。你说呢？

elim

我认为一个人如果不厌恶繁琐啰嗦，就学不好数学。