已知 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1 ，求 x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)

波斯猫猫

已知x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1，求x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)。(网上称是印尼初中竞赛题)

波斯猫猫

由x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1，有x^2/(y+z)+xy/(z+x)+xz/(x+y)=x，

xy/(y+z)+y^2/(z+x)+yz/(x+y)=y，xz/(y+z)+yz/(z+x)+z^2/(x+y)=z。三式相加得，

x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)+xy/(z+x)+xz/(x+y)+xz/(y+z)+yz/(z+x)+xy/(y+z)+yz/(x+y)=x+y+z,

即，x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)+x+y+z=x+y+z，亦即x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)=0。

波斯猫猫

思路：令x/(y+z)=e，y/(z+x)=r，z/(x+y)=t，有e+r+t=1，且x+y+z=(y+z)e+(z+x)r+(x+y)t，

故，x+y+z+ex+ry+tz=(x+y+z)e+(z+y+x)r+(x+y+z)t=(x+y+z)(e+r+t)，或ex+ry+tz=0。

从而，x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)=ex+ry+tz=0。

luyuanhong

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