求证：当 n 是正整数时，√(n+1)-√n 是无理数

Nicolas2050

东京大学入学证明题



n是正整数。

波斯猫猫

题：求证√(n+1)±√n是无理数(n∈Z+)。

思路：假设√(n+1)±√n是有理数，则√(n+1)±√n=a(a是有理数)。

平方得，2n+1±2√[n(n+1)]=a^2，即±2√[n(n+1)]=a^2-2n-1。

故√[n(n+1)]是有理数，即n(n+1)是平方数。这与两个连续正自然数的积

是非平方数矛盾。从而√(n+1)±√n是无理数(n∈Z+)。

luyuanhong