已知 0≤x≤1 ，n∈N ，证明：0≤x^n-x^(n+1)≤n^n／(n+1)^(n+1)

jvk0825 · 发表于 2024-2-26 09:33

請問此題如何解?

Treenewbee · 发表于 2024-2-26 12:09

\[x^n-x^{n+1}=x^n(1-x)>=0\]

Treenewbee · 发表于 2024-2-26 12:14

\[x^{n+1}+\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}\]
\[=(\frac{x^{n+1}}{n}+\frac{x^{n+1}}{n}+...+\frac{x^{n+1}}{n})+\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}\]
\[>=(n+1)\sqrt[n+1]{\frac{(x^{n+1})^n}{n^n}*\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}}\]
\[=(n+1)\sqrt[n+1]{\frac{(x^n)^{n+1}}{n^n}*\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}}\]
\[=x^n\]

Treenewbee · 发表于 2024-2-26 12:17

等号成立条件：\[\frac{x^{n+1}}{n}=\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \rightarrow x=\frac{n}{n+1}\]

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已知 0≤x≤1 ，n∈N ，证明：0≤x^n-x^(n+1)≤n^n／(n+1)^(n+1)

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