【冷知识】为什么在数学里再显然的结论也要证明

luyuanhong

【冷知识】为什么在数学里再显然的结论也要证明

原创 小数点同学会 小数点同学会 2024-01-16 21:24 北京

你知道吗？

在数学中，没得到严格证明的结论，不能叫作定理。哪怕看起来再像一句废话，哪怕看起来再显然正确，也不能保证它确实是正确的。

数学定理就像筑造数学高塔的一块块石砖。每搭一块砖，就可以在它之上搭上更多层的砖。但是，如果这块石砖并不结实，那么以它为基础的所有上层建筑都将摇摇欲坠。

数学证明，就相当于石砖的质检工程。只有得到严格证明的定理，才有资格作为其他结论的基础。否则，数学世界就会有崩塌的风险。

数学没有显然

看看下面三个结论。

1. 平面上一个面积有限的图形，周长也一定是有限的。

2. 平面上的点远远多于直线上的点，它们之间不可能一一对应。

3. 把一个立体图形分成若干份，不可能重新组装出两个和原来一模一样的立体图形。

这不就是三句废话吗！多显然都是正确的！然而，在数学里，这三个结论恰恰都是错误的。

海里格·冯·科赫（Helge von Koch）给出了一个周长无限但面积有限的平面图形；格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）建立了一种直线上的所有点和平面上的所有点一一对应的关系；斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）和阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）给出了一种方法，能把一个实心球体分成 5 份，通过旋转和平移的方式将它们重新组合在一起，得到两个和原来一样大的实心球体！

上面这些例子是不是很难想象？这是正常的，因为我们生活在现实的物理世界， 而上面的例子都是在纯逻辑的世界中通过严谨的定义构造出来的，在物理世界中很难找到对应。数学中有无限长的直线，有可以无限细分的图形，但在物理世界里我们显然无法这样操作。我们的直觉之所以会误判，很多时候也是因为这个原因。

因此，在数学中，看起来再显然的事情，没有用最严格的方法从逻辑上证明它是对的，就不能想当然地认为它是对的。正如苏格兰数学家埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）所言：“显然”是数学中最危险的词（"Obvious" is the most dangerous word in mathematics）。

数学猜想的证明与推翻

数学猜想，就是一些数学家眼里“看起来”正确的结论。但是因为不能用“显然”来作为判断结论真假的依据，为了说明这个猜想是正确的，就必须要给出严谨的证明，每一步推理都要有十足的理由。

历史上，就有很多著名的数学猜想后来被证明是正确的，例如庞加莱猜想（Poincaré conjecture）、开普勒猜想（Kepler conjecture）。整个证明过程写出来，通常是一篇长达数十页的数学论文，保证每一步都无懈可击。

比如 1995 年数学界的大事，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）发表了费马最终定理（Fermat's Last Theorem）的证明。就像我们之前说的，证明过程的每一步都必须运用已经确切得证的结论。意料之中的，全文长达 109 页。下图就是证明过程中的其中一部分，里面写着：“接下来，根据岩泽的结论……”



但反过来，为了说明一个数学猜想是错误的，往往只需要给出一个反例。你甚至不需要解释你是怎么找到这个反例的，只要甩个反例出来，就已经给这个数学猜想判死刑了（还记得我们上周提到的两个反例吧，第一个，第二个）。

这也是为什么，数学家们提出的猜想，即使是最有威望、最天才的数学家提出的，即使几百年来都没找到反例，即使已经验证到成百上千位数都成立，仍然不能因此就被视为一个定理。

直到现在，很多伟大的猜想还是未解之谜，比如哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）、孪生素数猜想（twin prime conjecture）。每次一个猜想得到了证明或者被推翻，数学界都会欢呼雀跃，因为这代表着数学世界又可以向前拓展一大步。