为什么有“共轭复数”这个概念？——也许是现代数学的思想起点

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为什么有“共轭复数”这个概念？——也许是现代数学的思想起点

原创 周毅博 观潮数学 2024-01-26 00:32 浙江

今天强基课上完了复数的第三节内容，我的脑中浮现了一个问题：

为什么有“共轭复数”这个概念？

首先，我设计这三节课的大框架是：复数的表示、运算、应用。

在复数的表示中，其实“共轭复数”的出现并没有什么必要性。

但在复数的运算中，引入“共轭复数”的必要性就有了！

解释一 为了“运算”

数学的最基本功能就是“运算”。



解释二 实系数方程虚根成对

解释一从教学的角度是极为顺畅的，但问题出在我们是已经知道这些概念了，才有这个认知，这显然不符合数学概念的发现规律。

这时候，第三节的“实系数方程虚根成对定理”促使我想到一种解释！

复数的起源

实际上，复数最开始的引入并不是解二次方程，这很自然，因为你在初中的时候也不会纠结，二次方程无解会怎么样？？？事实上数学家一开始也认为对负数开方是没有必要的.

直到三次方程的求根公式遇到了一个炸裂的问题！

数学史中“虚数”概念的来源

公元 3 世纪，古希腊数学家丢番图在解一元二次方程时已经遇到了 Δ＜0 的情形。12 世纪印度数学家婆什迦罗指出：“正数的平方根有两个，一个正，一个负。但是负数没有平方根，因为它不是一个平方数。”

在欧洲，12 世纪西班牙犹太学者希亚、13 世纪意大利数学家斐波那契、15 世纪意大利数学家帕乔利和法国数学家许凯在讨论一元二次方程的根时都遇到了 Δ＜0 的情形。但当时的数学家都不考虑负数开平方问题。

虚数概念的历史肇始于 1545 年。意大利数学家卡丹在其《大术》中提出著名问题：“将 10 分成两部分，使它们的乘积等于 40 。”在《大术》中卡丹给出了实际上应归功于同时代另一位意大利数学家塔尔塔利亚的三次方求根公式。在运用公式时，卡丹在此遇到负数开平方问题，他认为这种情况下不适合用三次方求根公式。《大术》出版 27 年后，邦贝利为解决三次方程实数根与负数平方根表达形式之间的“矛盾”而引入“人造数”√-1 ，并给出了运算法则。



共轭复数在哪呢？

在类似上述解实系数方程的问题中，虽然计算过程有“虚数”，但最后都“有惊无险”地消去了，变成了实数！

那么我们有理由去思考，对于一个一般的 z=a+bi ，要通过运算变成实数，得有个配对的数！我们得到以下关键问题：

z0=a+bi 是给定虚数，若 zz0∈R ，z+z0∈R ，试证明 z=a-bi 。

这是容易证明的！我们也因此顺畅地引入了“共轭复数”！

终极解释 “平方后等于 -1 的数是 i ”这句话对吗？

但还有一个问题困扰着我：

"共轭复数"的运算性质实在是太太太优美了！



那么有没有更顺畅的解释呢？

还真被我找到了！！！

而且这个想法还促使天才数学家伽罗瓦发明了“群论”，开启了现代代数学！！！

关键思考：“平方后等于 -1 的数是 i ”这句话对吗？

某位老师在上课的时候曾经批评某些题目的不严谨，说 i=√-1 这种说法是不对的，因为负数没有根号的概念，应该写 i^2=-1 。

确实，i 的定义是“平方后等于 -1 的数”，但是反过来对吗？

"平方后等于 -1 的数是 i ”这句话肯定不对！！！应该是 i 和 -i 。

既然平方后等于 -1 的数有两个，那我们究竟定义哪一个是 i 呢？？？

事实上，人们发现，这个问题根本没法解释清楚，并且如果把 -i 定义成原来的 i ，推导出来的所有结论也都没有任何问题。

所以，i 的定义应该是“在平方后等于 -1 的两个数中任选的一个数"，而剩下没被选的那个数，和 i 的地位是相同的！！！于是被称为 i 的共轭（conjugate），在英文里 conjugate 本来就是配对的意思！！！

这就是共轭的意义，从 i 的定义开始，它们就注定无法被区分！！！！！！

后续：该思想的升华——伽罗瓦的群论。