这样的一元二次方程超纲了没？

luyuanhong

这样的一元二次方程超纲了没？

原创 夏老师讲数学思维 随性而行拽着 LI 2024-03-04 18:29 湖北

例：用 [x] 表示不大于 x 的最大整数，则方程 x^2-2[x]-3=0 的解的个数是多少个？

解析：

如果这个方程不带个 [ ] ，绝大多数同学就都会解这个一元二次方程。但现在带个 [ ] ，我相信大多数同学又都会有点懵。

这个 [ ] 把这个未知数变得有点复杂了。当 x 为整数时，那么 [x] 就是 x 本身；如果 x 不为整，则 [x] 要取值为小于 x 而且最接近 x 的那个整数，比如当 x=-3.6 时，[x]=-4 。这是对 [ ] 的一般理解。

具体到本例，如果我们注意到 [x] 并不总是等于 x 的情况下，x^2-2[x]-3 的值是随着 x 的取值范围不同而不同的，这就非常符合我们以前学过的需要分类讨论的情形。所以，我们要根据 x 的不同取值区间来分类讨论 x^2-2[x]-3 的值，进而求得方程 x^2-2[x]-3=0 的解。

1. 求得 x 的取值范围

根据对 [x] 的定义，我们知道 [x]≤x ，所以 2x+3≥2[x]+3 。因为我们是要求 x^2-2[x]-3=0 的解，也就是说 x 和 [x] 之间还总是需要满足 x^2=2[x]+3 ，

所以：2x+3≥x^2 ，即：(x-3)(x+1)≤0 ，解这个不等式，得：

              -1≤x≤3 。

2. 根据 x 的取值范围分别求出 x^2-2[x]-3 的值，继而解出方程的解

根据前面的讨论我们已经知道只是当 x 的取值不是整数时，[x] 才会 ≠x ，为保险起见，我们，我们还是把 -1≤x≤3 按照其中包含的各个整数来分成多个区间来分别讨论。   

a) 当 -1≤x＜0 时，x^2-2[x]-3=x^2-2*(-1)-3=x^2-1

所以，原方程 x^2-2[x]-3=0 可以变形（简化）为 x^2-1=0 ，解之可知 x=-1 是在我们的讨论区间内的唯一解。

b) 当 0≤x＜1 时，x^2-2[x]-3=x^2-3

所以，原方程可以变形（简化）为x^2-3=0，解之可知没有在我们的讨论区间内的解。

c) 当 1≤x＜2 时，x^2-2[x]-3=x^2-5

所以，原方程可以变形（简化）为x^2-5=0，解之可知没有在我们的讨论区间内的解。

d) 当 2≤x＜3 时，x^2-2[x]-3=x^2-7

所以，原方程可以变形（简化）为 x^2-7=0 ，解之可知 x=√7 是在我们的讨论区间内的唯一解。

e) 当 x=3 时，x^2-2[x]-3=x^2-9

所以，原方程可以变形（简化）为 x^2-9=0 ，解之可知 x=3 是在我们的讨论区间内的唯一解。

3. 总结：

a) 原方程有三个有效解。

b) 得到这三个有效解所用的知识并没有超出我们的知识范围，所以这不是一个超纲题。

c) 解这一题的思路。回头看解题的全过程，我们理应注意到 [x] 的取值是和 x 的取值范围有关，所以，我们必须先求出 x 的取值范围，然后再分段讨论。分段的原则显然是按照取值范围内的整数来划分区间，因为 [x] 和 x 相等还是不等就是和 x 是否是整数有关。在我们还没有把握用更少的区间范围来求出所有的解的情况下，我们按照 x 的取值范围内的所有整数来划分区间是最保险的。   

Nicolas2050

函数y=[x]称为取整函数，也称高斯函数。其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]。高斯函数以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名。该函数被广泛应用于数论，函数绘图和计算机领域。取整函数与微积分有着紧密联系，它在科学和工程上有广泛应用。