【冷知识】不稳定的多面体竟然存在

luyuanhong

【冷知识】不稳定的多面体竟然存在

原创 小数点同学会 小数点同学会 2024-01-09 20:32 北京

你知道吗？

三角形具有稳定性，可四边形就不稳定了，可以抻着它的两个对角变形。

四面体、正方体这些多面体都是稳定的。三维里，也同样存在可以扭来扭去的不稳定多面体。

形状的稳定与不稳定

三角形具有稳定性。



上图中，我们将三根乐高积木首尾相连，在端点处把它们钉在一起，这个三角形的形状就被固定死了，怎么拉也不会变形。

但是，四边形就不再具有稳定性了。




上图演示的是把四根乐高积木首尾相连，在端点处把它们钉在一起。可以看到这个四边形的形状发生了变化。一会儿大，一会儿小，一会儿饱满，一会儿扁平。可以想象到，边数更多的多边形就更不稳定了。

三维形状的稳定性

平面图形是由线段组成的，我们说它稳定不稳定，是指在所有线段长度不变的情况下，整个形状能不能变形。

那么对应到三维形状中呢？三维形状是由各种形状的面组成的，也就是说，三维形状稳定不稳定，是指在每个面都不改变形状的前提下，能不能发生形变。

四面体、正方体、长方体、五棱柱、六棱锥、正十二面体……它们都是稳定的。就比方说五棱柱吧，我们用两个大小形状完全相同的正五边形木板，和五个大小形状完全相同的长方形木板，如下图拼成一个五棱柱，并且用合页把相邻的木板铰在一起。



虽然单看合页连接的两个木板，可以像笔记本电脑那样展开、合拢，但这个五棱柱作为一个整体是被固定死了的。不管怎么拉伸挤压它，它的形状都不会发生变化。也就是说，五棱柱具有稳定性。

那有没有不稳定的多面体呢？

欧拉的猜测

在这件事上，欧拉有过一个猜测。欧拉大家应该熟悉吧？18 世纪瑞士大数学家，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）。这位数学界地位之高怎么吹都不为过的大神，曾经大胆猜测：所有的多面体都具有稳定性。

再厉害的人猜测出来的东西，也必须得到证明才可以变成定理。既然欧拉大神都这么说了，大家就纷纷开始尝试证明（或者推翻）他的猜测。

1813 年，法国大数学家奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy），证明了所有的凸多面体确实都具有稳定性。你看，欧拉的猜测有一半已经得证了，凹多面体这一边如果也能证出来，就能说明欧拉大神这次又猜对了。

之后，数学家们陆续发现，很多类型的凹多面体也都是稳定的。种种证据表明，当年欧拉的猜测是正确的。欧拉大神是不是再一次凭直觉猜测正确呢？

叫板欧拉的论文

1977 年《IHES 数学出版物》（Publications Mathématiques de l'IHES）上的一篇数学论文会让所有人大跌眼镜。论文的标题直截了当地反对了欧拉：《多面体稳定性猜想的一个反例》（A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra）。

在这篇论文中，数学家罗伯特·康奈利（Robert Connelly）用 6 页的篇幅描述了一个凹多面体，它不具有稳定性，可以连续地变形，从而推翻了最初欧拉的猜测。这样的多面体就叫作“弹性多面体”（flexible polyhedra）。

由于这个多面体极其复杂，康奈利还专门写了一篇文章详细解释这个多面体的构造。最终看起来是下图这样（左右是从两个不同的角度观察这个凹多面体）。



更简单的不稳定多面体

1978 年，数学家克劳斯·斯特芬（Klaus Steffen）找到了一个更简单的弹性多面体——它只有 9 个顶点、14 个面和 21 条棱。人们称它为“斯特芬多面体”（Steffen's polyhedron）。它比之前的反例简单多了，长这个样子：



扭起来是这个样子：



换一个角度观察它的扭动：



扭起来是不是还挺欢乐的呢！好像挺得意自己能推翻大数学家欧拉的猜测。

风箱猜想

这种扭动还有一个出乎意料的特征。别看它扭得欢，不管它怎么扭，它的体积全程都是不变的！

康奈利研究弹性多面体时发现，这些多面体在变形的过程中，体积总是保持不变。由此，他猜测这对于所有的弹性多面体都成立。这就是著名的“风箱猜想”（bellows conjecture）。

1995 年，俄罗斯数学家萨比托夫（I. Sabitov）成功证明，风箱猜想是正确的。