平面几何神兽---卡诺的鸭（1）

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平面几何神兽---卡诺的鸭（1）

原创 lch 茄总笑谈人生几何 2024-03-19 18:03 上海

物理学界有四大神兽，分别是：薛定谔的猫，麦克斯韦的妖，拉普拉斯兽，芝诺的龟。茄总认为，平面几何中也有神兽！！！

今天我们要开始介绍的就是卡诺的鸭！！！

要说这个，我们得从一个特殊的点：垂心说起！！！

在梅，塞定理客串的第一回，我们欣赏了如何证明垂心的存在！在我们提到内心和垂心互为连襟的时候，茄总隐藏了一个事实：垂心的这个性质，其实是垂心为数不多的被放生的经历！！！

事实上，垂心的命运就死死地和外心绑在了一起！！！

我们来看一下垂心的其他性质：



首先是互补，这个互补其实很显然。因为 A,E,H,F 共圆，在对顶角导一下就可以了！！！

那为什么它死死地和外心绑在了一起了呢？

因为这一组互补带来了连锁反应：

首先，互补意味着正弦值相等。那么通过正弦定理，能直接推出，ΔABC 和 ΔHBC 的外接圆半径相等。即两个外接圆互为等圆！！！



那么，BC 对应的两段弧就相等！也就意味着这两个圆关于 BC 对称！！！

所以接下来，我们延长 AH 交外接圆于 H’。这个时候，就是卡诺的鸭闪亮登场的时候了！

刚才的铺垫说明了：H 关于 BC 的对称点在 ΔABC 的外接圆上。

也就意味着：延长 AH ，与 ΔABC 外接圆的交点 H' 与 H 关于 BC 对称！！！



接下来就会上映一系列的对称，我们就要请卡诺的鸭来看客串了！！！



卡诺的鸭把爪子摁到了这个地方，著名的鸭爪定理就这样生成了！！！

这样就衍生出来了另一组结论：



H 关于 BC 中点 M 的对称点在外接圆上，而且是 A 的对径点 A' 。得到的四边形 BA'CH 为平行四边形。



同时，得到的四边形 BA'H'C为 等腰梯形。

这个结论的证明也很简单：首先 ∠AH'A' 为直角，所以 A'H'∥BC 。

这样能直接得出来等腰梯形。



而 A'B⊥AB ，所以 A'B∥AC ，同理 A'C∥AB ，两组对边平行得到了平行四边形，进而得到了对角线互相平分，得到中点和对称。

这个时候，卡诺也可以出场了！！！



中位线可以直接得出 AH=2OM ，这就是垂心中著名的卡诺定理！

再用梅涅劳斯定理，我们也可以马上证明欧拉线的存在：



今天我们认识了这样的一只神兽，之后我们会通过精彩的表演来欣赏这样一只可爱的神兽！！！