平面几何神兽---曼海姆的鸡（1）

luyuanhong

平面几何神兽---曼海姆的鸡（1）

原创 lch 茄总笑谈人生几何 2024-04-04 12:12 上海

好久没更新了，好久没和大家见面了！！！

我们前面认识了一只神兽---卡诺的鸭。今天，我们就来认识下一只神兽---曼海姆的鸡！！！

曼海姆的鸡是一只具有非凡魅力的名鸡！！！在平面几何中可以说是“神一般的存在”！！！

在之前的几场戏里，有一个定理我们没有隆重介绍过，但是一直在客串！！！今天我们就要隆重介绍一下一直客串的这位贵宾---鸡爪定理！！！



鸡爪定理最开始的内容是：三角形一个顶角的角平分线与外接圆的另一个交点位于这个角所对弧的中点，而且弧中点到另外两个顶点的距离与弧中点到内心的距离相等。

这个结论很好证明！！！首先交于弧中点是显然的，因为相等的圆周角所对的弧长也相等，那么就一定交于弧中点。弧中点到两个顶点的距离相等也是显然的，这一点可以通过对称性，也可以通过相等的圆周角所对的弦长也相等这一结论来证明。

下面我们用两种最简单的证明思路来证明：弧中点到另外两个顶点的距离与弧中点到内心的距离相等。



这是两种最好想的证法，那么初级形式我们就了解了！！！

之后，这个定理有了它最终的形式：三角形一个顶角的角平分线与外接圆的另一个交点位于这个角所对弧的中点，而且弧中点到另外两个顶点的距离与弧中点到内心的距离和弧中点到外心的距离都相等。



这个证明也很简单，我们依然通过两种最简单的思路来证明：



这些结论都非常显而易见，这个圆，即 B,I,C,Ia 所在的圆民间称之为“鸡爪圆”，S 民间称之为“爪心”或者“南极点”，生动形象！！！

鸡爪圆上还有两个点，但是我们容易忽略的：



没错，当我们 B,C 关于角平分线的对称点在其对边上，也在鸡爪圆上。这个用对称性很容易证明：即圆上的点关于直径的对称点也在圆上！！！

现在我们看一些鸡爪定理更多的魅力：

有了边等，我们就能认识一个难以被觉察到的结论：



南极点到顶角的距离与南极点到顶角的角平分线与对边的交点的距离乘积等于鸡爪圆半径的平方。这个结论也非常好证明：



这个结论还可以进一步推广：



过爪心的任意一条直线同外接圆和对边的交点与顶点和角平分线与对边的交点共圆！！！

由于过爪心的直线和圆的交点形成的圆周角和之前的顶角一样。所以说，同外接圆和对边的交点，与顶点和角平分线与对边的交点拥有同样的身份地位和关系。

由切割线定理知：这些乘积都等于鸡爪圆半径的平方，所以就共圆了！！！

此外，我们不难发现：SI=SIa=SB=SC=2RsinA/2 ，也就是说这个鸡爪圆的半径可以算出来。也就是说，三角形每个顶角对应的鸡爪圆与外接圆的半径之比为半顶角正弦值的两倍。

这样一来，就有一个公式应运而生！！！

没错，就是让我们区分不清的欧拉公式：OI^2=R^2-2Rr 。



这个公式看似复杂，但有了刚才的铺垫，我们就可以一眼看透：



知道了半径之比，我们还能意识到一个特殊的情形：当鸡爪圆和外接圆为等圆的时候，顶角为 60° 。而此时 ∠BIC=∠BOC=∠BHC=120° ，也就是说在这个时候，另外两个顶点，顶点所对应的旁心，外心，内心，垂心六点共圆！！！

所以说，当我们注意到三角形一个顶角是 60° 的时候，我们就要马上意识到这个特殊情况！！！

曼海姆还没有正式登场，由于档期的问题，我们让他下集登场！！！