趣味几何之多面体面角和定理

ccmmjj

多面体面角和定理：无孔多面体（与球同胚）的各面所有角之和等于(2n-4)π。其中n等于此多面体的顶点数。
－－－－－比如说四面体所有角之和等于4π，三棱柱6顶点，所有角之和等于8π，平行六面体8顶点，所有角之和12π.……，只要你提出例子，就没有例外。这是平面多边形内角和定理的推广。它有一些重要的分析后话。在此征求此题证明。

luyuanhong

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漂亮的证明。谢谢老陆。

ccmmjj

关于角的分析理论，先从平面角谈起，多边形内角和定理其实不如外角和定理重要，外角和是一个定值2π，我们考虑平面曲线积分

其中Ｃ是一条逐段可微不交叉不过原点的连续曲线，如果Ａ、Ｂ是其两端点，那么这个积分值只是一个仅与∠ ＡＯＢ有关的数值，如果它是包含原点的简单围线，它的值就等于2π或－2π，它蕴含了多边形外角和定理。
我们再考虑这个积分的向量内容形式，

其中　i　是单位向量，作为矢径　r　的标量倒数积分，和对应的原点圆曲率表示相同。这让我猜想，如果用曲线Ｃ的曲率作曲线积分，它应该是正比于以上积分值。这只是我的猜想，未必是对的。不过用曲率来描述角，我认为是合理的。以上内容，我称之为平面角分析。还望有精通微分几何的网友有以教我。至于立体角分析，就要从主贴的结论出发，另作一番讨论了。

ccmmjj

又复习一下曲率的定义，发现曲率的曲线积分的确表示角，但要和我的上述积分相对应，还是需要些条件的。我写出的积分是对原点所成的角，而曲率积分，是曲线本身向量ds的矢角和，它不需要一个特殊点。当然当毛曲线Ｃ是简单闭曲线且围绕原点时，我猜测的关系才可能是成立的。