新手刚学数模的第一个练习题,关于硬币的,我毫无头绪啊

pujunyi

我们刚刚上了一次数模课,老师就布置了这条题,我一点头绪都没有,望大家帮下手
n个硬币,开始都正面朝上,现在每轮把其中的m(2m<n)个翻转,希望最后全部反面向上.试建立数学模型,研究m,n在什么条件下,此问题有解或无解?[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 pujunyi 在 时添加 -=-=-=-=-
附上参考答案:
1)m为奇有解
2)m,n都为偶,有解
3)m偶,n奇,无解
求建模和求解过程

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/14 00:46am 第 1 次编辑]

（1） m 为奇数时，有解。
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一种可行的解法为：
先将 m 个硬币从正面翻成反面。
然后每次将 (m-1)/2 个反面翻成正面，将 (m+1)/2 个正面翻成反面，这样每做一次，就减少 1 个正面，增加 1 个反面。
直到剩下的正面个数恰好是 m 个时，一下子将这 m 个正面翻成反面，就达到了目的。
（2）m，n 都是偶数时，有解。
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一种可行的解法为：
先将 m 个硬币从正面翻成反面。
然后每次将 m/2-1 个反面翻成正面，将 m/2+1 个正面翻成反面，这样每做一次，就减少 2 个正面，增加 2 个反面。
直到剩下的正面个数恰好是 m 个时（因为 n 为偶数，这总可以做到），一下子将这 m 个正面翻成反面，就达到了目的。
（3）m 为偶数，n 为奇数时，无解。
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因为 m 为偶数，每翻一次，总是将 m/2-k 个反面翻成正面，将 m/2+k 个正面翻成反面（其中 k＝0,±1,±2,…）。
如果 k≥0 ，这样每做一次，就减少 2k 个正面，增加 2k 个反面。
如果 k≤0 ，这样每做一次，就增加 -2k 个正面，减少 -2k 个反面。
不管怎样翻，每次正面数只能增减偶数个，由于原来正面个数 n 为奇数，所以，不管怎样翻，它总是奇数，不会等于 0 。

风华绝代123

那你们老师够牛S的啊，哈哈