外国数学史

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外国数学史
作者：中华青少年教育信息港  来源：数学之家   
    外国数学史，在古代实际上是指各个地区的数学史，例如古巴比伦数学、古埃及数学、古希腊数学、古印度数学、阿拉伯数学等；在中世纪，是指欧洲数学史；在近代，才是世界数学史。由于中国数学有覣E久的发展史，经历了数千年之久，而且具有很突出的特色，与任何一个国家或地区的发展，极不相称，所以把中国数学史单独列出很有必要，也有充分理论根据。相应地也把外国数学史单列一项。在古代，亚洲底格里斯河与幼发拉底河之间的地带，是人类文明发源地之一，公元前１９世纪，苏美尔和阿卡德民族在这里建立了巴比伦王国。１９世纪，在美索不达米亚出土约５０万块刻有楔形文字的泥板，经考证，这些泥板有的是公元前２０世纪的遗物，有的是公元前６世纪的遗物。这些楔形文字中也包括巴比伦人在数学上的一些成就。由于古巴比伦对奴隶的剥削日趋严酷，农奴生活濒于绝境，于公元前６世纪，巴比伦王国覆灭，合并于波斯帝国，而巴比伦数学也告结束。
　　    大约公元前３０００年左右，在尼罗河一带，形成了古埃及王国。由于埃及人长期与大自然作斗争，逐渐掌握了一些科学、技术知识；又因需要以物易物、丈量土地、建筑房屋及坟墓，也积累了一些数学知识；为了传递信息，古埃及人也创造了一种像形文字，一般称为僧侣文。根据考证，尼罗河每年定期泛滥，泛滥之后，需要重新丈量被淹没的土地，因而长期以来，便由丈量土地的知识逐渐发展成为所谓几何学。要了解古埃及的某些情况，只能通"莫斯科纸草书"、"阿默斯纸草书"这两卷纸草书进行探讨。由于宗教的改革，古代埃及统治集团的内部斗争愈加剧烈，外部则经常受到欺凌，于公元前６世纪前后，被波斯吞并，成为一个省，而古埃及的文化也随之逐渐消失。
　　
　　古代希腊人，为人类创造了历史上的文明，尤AE?对西方的文化有巨大的影响。古希腊文明可以追溯到公元前２９世纪，一直延续到公元６世纪。古希腊的数学发展是由学派组成的，例如，最早是以泰勒斯为代表的爱奥尼亚学派。在爱奥尼亚学派之后，相继而AE?的是毕达哥拉斯学派，在数学方面，研究了一些初等数论的问题，并以发现勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）驰名于世。与毕达哥拉斯齐名的学派，是芝诺为代表的悖论学派，悖论学派创立了一些悖论，给学术界造成了极大的震动。原子论学派，主张宇謅e间的物质都由不可分割的元素组成。
　　与悖论学派差不多同时，雅典出现了诡辩学派，在数学方面。他们提出了三大几何问题，即"化圆为方"、"倍立方"、"三等分角"。在雅典相继而起的是柏拉图学派，柏拉图是古希腊的著名哲学家，他注重数学，并十分推崇几何，认为几何可以培养思维能力。该学派培养出不少优秀学生，亚里士多德就是他的学生之一。在雅典以亚里士多德为首创办了吕园学派。吕园学派的贡献在于创立了逻辑学，因而为欧几里得的《原本》铺平了发展道路。公元前４世纪，亚历山大帝国瓜分为三个国家，最大的是托勒密王朝。托勒密王在亚历山大城建立了最大的图书馆，从而使得亚历山大城变为希腊文化的中心；但是，到公元５-６世纪，由于东罗马的入侵，希腊文化的发展即告终结，而保留下来的希腊文化遗产，为欧洲的文化提供了丰富的营养。
　　古印度也是古代文明国家之一，印度数学大约产生于公元前４世纪，当时是一种十进非位值制系统，经过千年的变迁，到公元６世纪，才形成印度数码，８世纪传入阿拉伯，１３世纪输入欧洲，逐渐演变成现今所谓印度B阿拉伯数码。１９世纪出土了"巴克沙利手稿"，经考证，记载了印度４、５世纪的数学知识，其中论述了"反演法"及其例证。古印度人还以"库塔卡"来解某些不定方程；还改变了希腊人的"全弦"为"半弦"，即今之"正弦"线。
　　阿拉伯数学是指８-１５世纪伊斯兰教国家所建立的数学。其代表人物之一，是阿尔·花拉子米，他首先提出所谓"代数学"一词，他对二次方程作了系统的研究。另一代表人物是１３世纪的纳速拉丁，他首先从天文学里把三角分割出来，使成为一门独立的学科。阿拉伯人曾把一大批希腊、印度的著作翻译成阿拉伯文，使得这些濒于灭亡的著作获得新生，从而传入欧洲，使欧洲数学一跃而起。
　　中世纪数学是指以罗马为中心的数学发展概况。由于十字军东征，欧洲人从阿拉伯获得大批希腊著作以及阿拉伯文译本，或阿拉伯人的著作，１２世纪便进入大翻译时期；从而了解到希腊及阿拉伯在数学上的贡献。１３世纪初期，由一些教会学校转变为一些大学，这些大学成为后世数学发展的基地。欧洲经过了文艺复兴的洗礼，数学首先发展了起来，并为后世的数学发展做了准备。

　　【古巴比伦数学】底格里斯河与幼发拉底河流域是世界文明的发祥地之一。大约公元５０００年前，苏美尔人、阿卡德人就先后活跃在这里。约公元前１８９４年，由阿摩利人建立了古巴比伦第一王朝（约公元前１５９５年灭亡）AE?，此后一些王朝也多冠以巴比伦之名，因而传统上称这一地区的古代各民族为巴比伦人。１９世纪初，这里发掘出大约５０万块刻着楔形文字的粘土泥板，其中约有３００块为载有各种数表和一批数学问题的数学泥板，关于巴比伦数学的知识，即来源于此。这些数学泥板可分为三组：第一组约在公元前２１００年苏美尔文化末AE?；第二组属于古巴比伦第一王朝时期，数量很大；第三组属于公元前６００-前３００年，内容也较丰富。巴比伦人对数学的第一个重大贡献是发明了６０进位记制数法，并一直影响到今天的角度与时间计量。由于表示空位的记号（零号）直到大约公元前３-前２世纪才出现，早期泥板中的数字表示常常发生混乱。他们有完整的加减乘除算法，并使用了６０进制的小数。为了便于计算，编制了大量数表，如乘法表，AE?方表、立方表、平方根表、立方根表、倒数表，以及计算复利的指数表等。他们还发明了表示减与乘的记号。巴比伦数学的最高水平体现在代数方面。尽管没有一般的代数符号，解法也仅限于给出每一步的具体计算，但从其所解决的大量问题可以看出，巴比伦人已经有了解方程的明确概念和方法，并能解决一些方程问题，如，
　　（１）ａｘ＝ｂ；（２）ｘ2＝ａ；
　　（３）ｘ3＝ａ；（４）ｘ2±ａｘ＝ｂ；
　　（５）ｘ２（ｘ±１）＝ａ；
　　（６）ｘ±ｙ＝ａ，ｘｙ＝ｂ；
　　（７）ｘ±ｙ＝ａ，ｘ２＋ｙ２＝ｂ；
　　以及多达１０个未知数、１０个方程的线性方程组。当然，所有的解都只取正值。他们分别对ｎ＝９和ｎ＝１０求出了下列级数的和：
?　∑BU=１２U＝２B＋２B－１
?　∑U=１U２＝（１/３＋２/３B）·∑U=１U
　　巴比伦人的几何水平已很高，涉及的问题有：由平行线引出的比例，勾股定理，三角形和梯形的面积，圆的面积与周长（取π＝３），棱柱和圆柱的体积。对这些内容他们都得到了正确结果，有一块泥板上还出现了取π＝３１/８较好近称值。然而他们给出的正四棱台体积公式却是错误的，或者说是有很大误差的。
　　巴比伦数学的基本特点是它的"算术B代数"性质，几何学是从属于算术与代数。数学还主要是一门实用技术，没有成为科学，但他们的绝大部分数学成果都是在公元前１６００年以前取得的，并且和埃及数学一AE鸪晌?希腊数学的先导。

【埃及古代数学】以金字塔闻名于世的埃及，很早就在数学上取得了引人注目的成就。我们了解埃及古代数学的主要依据，是大约公元前１８５０-前１６５０年间的两份纸草书：莫斯科纸草书与阿默斯纸草书。前者因AE?收藏于莫斯科美术博物馆而得名，后者则得名于原件的书写者，人们还认为，阿默斯纸草书是一部更为古老的数学著作的抄写本。
　　埃及人建立了以１０为基数的数学符号，由于完全没有位值的概念，他们需要为１０的每一幂次设计一个新的符号。在埃及古老的像形文字中，１、１０、１００、１０００分别被记作１、n、?（或?）戟（或?），一般数字是将１０的各个幂次按加法原则累积而成，例如２３４５记作戟戟???nnnn___
　　这就使得数的表示与各种运算都十分烦琐。古代埃及人的加减乘除运算是完整而正确的。他们发明了形如１/ｎ（ｎ是自然数）的单位分数，一般分数则用单位分数的和表示，为此编制了专门的分解表。除法是根据乘法的腶e运算原理或直接用分数分解表实现的。
　　埃及人解决了一些在今天看来属于代数学范围的问题，有的相当于一元一次或二次方程，还有的问题涉及等差或等比数列中的几项。但是，所有这些问题都是用加、减、乘、除、比例等典型的算术方法求解的，至多涉及开AE?方运算，而所谓代数问题的解法是以比例算法为核心的单假设法，从中难以看出代数学的思想与方法。金字塔的建造说明埃及人有着丰富的几何知识。实际上，由于古埃及的主要经济部门是农业，尼罗河水泛滥后土地的重新测量，兴修水利、营建仓廪等都引起了对几何知识的大量需要。埃及人正确地计算了正方形、长方形、直角三角形，直角梯形以及能分割成这些形状的图形的面积，可能也已经知道了勾股定理的某些特殊情形。
　　如果记面积为Ｓ，直径ｄ，则他们的圆面积公式相当于Ｓ＝（８/９ｄ）２
，由此可以得到圆周率π的一个很好的近称值３．１６０４９。他们也正确地计算了立方体、长方体、棱柱、圆柱的体积，特别是以对称的形式给出了正四棱台的体积公式Ｖ＝１/３ n（ａ２＋ａｂ＋ｂ２）被后人一语双关地称作最伟大的埃及金字塔，他们的圆台、半球体积公式则是相当粗糙的。埃及数学的特征是它的"算术B几何"性质。他们创造了十进制（但非位值制）记数系统，发展了完整的整数及分数运算，并且运用比例原理解决了某些代数问题。他们的几何知识达到了很高水平。所有这些都对希腊数学产生了直接而深远的影响。

【古希腊数学】主要由学派组成的，较早的学派是以泰勒斯为代表的爱奥尼亚学派，其最主要的贡献是把演绎证明引入到数学中，例如论证了（１）直径平分圆周；（２）半圆周角是直角；（３）等腰三角形之底角相等；（４）两直线相交其对顶角相等；（５）若三角形的一边和两角为已知，则此三角形为确定。从而便进入了数学发展中所谓初等数学时期
在爱奥尼亚学派之后，相继兴AE?的是毕达哥拉斯学派，这一学派带有一定的神秘主义色彩，他们信奉"万物皆数"的信条，认为宇謅e间一切事物、现象都依附于某些数值之间的相互关系；他们的研究范围属于比例论、初等数论、几何代数等范
围，例如他们研究了"三角形?quot;、"正方形数"、"多角形数"、"亲和数"、"完全数"以及"整勾股数"等；并以发现勾股定理而著称于世（西方称勾股定理为毕达哥拉斯定理）；他们还发现了正方形的边与对角线不能公度的问题。
　　与毕达哥拉斯学派齐名的学派，是以芝诺为代表的悖论学派，悖论学派创立了一些悖论，给学术界造成极大震动；他们所提出的悖论分别是：（１）二分说，即一物体从Ａ到Ｂ，永远不能到达；（２）追龟说，即阿基里斯永远追不上乌龟；（３）飞箭静止说，即飞箭在任一时刻都是在静止的位置上，所谓运动即是静止的总和；（４）运动场说，即一段时间和AE?一半相等。他们还研究了物质的连续性、无限性等，从而为原子学派奠定了思想基础。
　　原子论学派的代表人物是德漠克利特，他是古希腊的数学家、哲学家，他认为任何线段、面积、体积都是由有限个不可再分割的原子所构成，并成功地把这种观点运用于计算之中，所谓计算长度、面积、体积就等于将这些原子集合在一起。
　　与悖论学派差不多同时，在雅典出现了诡辩学派，这学派主要的研究是用数学来解释宇宙的现象，在数学方面，他们提出三大几何问题，即（１）作一正方形，使与已知圆面积相等，简称为"化圆为方"；（２）作正方体之一边，使其体积等于已知正方体体积之二倍，简称?quot;倍立方"；（３）三等分任意一角，简称为"三等分角"。由于这三大几何问题的提出，对后世数学增加了许多新的研究课题。
　　在雅典相继而起的是柏拉图学派，柏拉图是希腊的著名哲学家、数学家，他十分注重数学，并非常推崇几何学，以为几何可以培养思维能力。柏拉图及其学派，使用准确的定义、清晰的题设、严密的证明和系统的推理，对数学的发展以及对后世的影响，建立了莫大的功绩。他们研究了棱柱、棱锥、圆柱、圆锥以及五种正多面体，还研究了无理数理论、比例论理论、圆锥曲线性质等。柏拉图学派在柏拉图的指导下，培养出不少优秀学生，欧多克斯、亚里士多德等人都是他的学生。
　　在雅典，以亚里士多德为首创办了吕园学派。亚里士多德不但在机械学、物理学、气象学、心理学、伦理学上有所贡献，他最大的贡献是创立了逻辑学。其逻辑思想影响整个数学界达２０００年之久，而且为欧几里得取得的成功铺平了道路。
　　公元前４世纪，亚力山大帝国瓜分为三个国家，最大的为托勒密王朝。托勒密在亚力山大建立了最大的图书馆，并集中大批优秀人才进行科学研究，从而使亚力山大变成希腊的文化中心。不久，亚力山大城就出现了一批著名数学家，其中最杰出的是欧几里得、阿基米德、阿波罗尼等人；欧几里得总结了希腊的数学，写出十三卷的《原本》，对数学的公理化体系产生了巨大影响；阿基米德在他的著作中，记载了关于圆周率的计算，阿基米德螺线的意义，抛物线弓形面积求法，球和球冠面积求法等；阿波罗尼在他的《圆锥曲线论》里，论证了抛物线、椭圆、双曲线可由一个圆锥截得，还探讨了这三种曲线的异同等。
　　公元５-６世纪，由于东罗马的入侵，希腊的文化即告终结，所保留下来的希腊文化遗产，为欧洲的数学发展提供了丰富的营养。
【古印度数学】起源可以追溯到公元前２０００年左右，从建筑的遗迹、出土的AE?皿上的古代刻划、铭文，可发现某些数学知识。在公元前４世纪，印度出现了数字，经过了千余年的演变，才变成所谓印度数码，印度人所创造的这套数码和位值记数法，于８世纪传入阿拉伯，又经过阿拉伯人的改变，于１３世纪初期传入欧洲，才形成现今的形式。在印度创立数码的同时，也建立了一些简单的运算法则。
　　１８８１年出土一份所谓"巴克沙利手稿"，经考证，认为是印度４-５世纪的遗物，其中记载了用"反演法"解的算术问题，并记载有最初零的记号"０"。７世纪印度数学家婆罗摩笈多，对整数、分数、数列、比例、面积、体积以及晷影都有所贡献。例如他求得二次方程的一根公式，并引入负数及其加、减算法，还给出一次不定方程的通解的特殊二次不定方程的解。在求解一次不定方程时，他们使用了所?quot;库塔卡"的解法。１２世纪在印度数学家婆什迦罗的《丽罗娃祗》以及《算法本原》中，也记录了印度在代数方面的某些成就，他引进了负数的乘、除法运算，认为正数有两个平方根，因而求得二次方程的两个根。
　　印度人把希腊人的"全弦"，改变为"半弦"，即今之正弦线。这一改变，对三角学的发展起到了积极的推动作用。同一时其阿耶波多第一次用几何方法把圆周作２１６００等份，又取半径为３４３８等份，制造了正弦线表，还论证了一些简单的三角恒等式；到１５世纪，他们建立了关于π的无穷级数展开式以及反正切级数展开式。
　　在几何方面，印度人的一些公式不十分严密，虽然给出了一些几何体的体积算法，如圆锥、圆台的体积近称算法，但却缺少推导过程。又如给出四边形的面积算法为Ｓ＝√─（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）（ｓ－ｄ）其中ａ，ｂ，ｃ，ｄ分别为四边形之各边，ｓ为其周长之半。但他们却疏忽了这四边形必需内接于圆的条件。
【阿拉伯数学】公元７世纪初伊斯兰教创立后，政教合一的伊斯兰国家迅速统一了阿拉伯半岛并向外扩张，到８世纪中叶，形成了一个包括中亚、北非、西班牙在内的庞大帝国。所以"阿拉伯数学"实际是阿拉伯帝国统治下的各民族学者共同创造的。
　　阿拉伯很早就受到印度文化的影响，而且通过各种途径也受到中国文化的影响，与罗马人的战争又使阿拉伯人获得了大量希腊文化遗产，因而阿拉伯数学从一开始就表现出兼收并蓄、交融发展的特征。８-９世纪是阿拉伯数学的翻译时期，希腊和印度的大批天文、数学著作被译为阿拉伯文并被迅速吸收融合，随即进入９-１３世纪的鼎盛时期。代数学和三角学是阿拉伯人取得了辉煌成就的领域，数论、几何学方面也有一些创造。重要的数学家有：花拉子米（约７８０-８５0）、巴塔尼（约８５８-９２９）、阿布尔·维发（９４０-９９８）、卡拉吉（１０世纪未-１１世纪初）、奥玛尔·海亚姆（约１０４８-１１３１）、纳西尔丁（约１２０１-１２７４）、卡西（？-１４２９）。８世纪，印度数码传入阿拉伯，经改造后于１２世纪传入欧洲，成为近代计算的三大动力之一，这是对数学发展的一个重要贡献。阿拉伯数学家系统地论述了整数、分数、无理数的各种算法，熟知比例算法，却排斥了负数（据说个别学者偶尔使用过）。他们的格子乘法曾广泛流行于欧洲并传入中国。
在代数学方面，花拉子米系统地研究了一次、二次方程的分类和解法，他已注意到二次方程有两个根、但总是排斥负根，而且从他开始，他们的代数著作都用文字叙述，没有接受印度人的缩写记法。卡拉吉重复了花拉子米关于一次及二次
方程的工作。并且研究了可根据二次方程的原理求解的双ｎ次方程，系统地研究了多项式的运算，还证明了?∑nｒ=１r?∑ｎｒ=１ｒ２、?∑ｎｒ=１ｒ３
的求和公式。奥玛尔·海亚姆的三次方程研究在阿拉伯代数学中有重要地位。他对三次方程作了细致的分类，并且研究了利用圆锥曲线的交点求出这些方程解的几何解法。他还讨论了二项式的展开。１５世纪，卡西受到中国宋元数学的影响，给出了一般的二项式系数表，研究了高次方程近称解法，并明确认识了指数运算法则
　　ａｍ·ａｎ＝ａｍ＋ｎ，ａｍXａｎ＝ａｍ－ｎ。
在１１-１３世纪阿拉伯人的数学著作中还多次出现了中国的盈不足术，称之为天秤术或契丹算法。阿拉伯人研究了一些二次、三次不定方程，例如
　　ｘ３＋ｙ３＝ｚ２，ｘ２－ｙ２＝ｚ３，ｘ２ｙ３＝ｚ２，
　　ｘ３＋１０ｘ２＝ｙ２
的整数解，ｘ２－ｙ３＝ｚ２，ｘ３＋ｙ２＝ｚ３的分数解等。还曾有人试图证明
ｘ３＋ｙ２＝ｚ３没有整数解，即费尔马大定理的一个特例。阿拉伯人的数论成就还有泰比特·伊本·柯拉（约８２６-９０１）推求亲和数的一个法则。　
　　阿拉伯的几何学中既有简单、实用的测量与计算，也继承了希腊几何学的某些理论传统。从９世纪开始，有不少阿拉伯数学家研究过欧几里得的平行线，作过试证平行公设的努力，其中有泰比特·伊本·柯拉、奥玛尔·海牙姆、纳西尔丁等，
　　这些工作一直影响着１８世纪以前欧洲AE?行线理论的发展。此外，阿布尔·维发首创直尺与定脚圆筧e作图的研究。１５世纪，卡西运用阿基米德的方法研究圆的度量问题，得出圆周率的１７位准确数字。打破了中国祖冲之保持９００多年的记录，并在中国以外最先使用了十进小数。阿拉伯人以希腊人和印度人的工作为基础，对三角学的研究达到了一个全新的阶段。大约与花拉子米同时的摩瓦兹（以哈巴士之名著称）因测量日晷影长考虑了"直阴影"和"反阴影"（分别相当于余切和正切线值），也有记载说这是巴塔尼的工作。巴塔尼从代数角度出发研究了多种三角关系式和各种斜三角形的解法，并发现了球面三角的余弦定理。阿布尔·维发明确地引入了正切、余切、正割、余割、并把包括正弦、余弦在内的所有三角线都定义在一个圆上。他编制了间隔为１５′的正弦表、正切表，证明了正弦的半角及倍角公式。１３世纪，纳西尔丁在两部三角学专著中完成了它的系统化，使之成为一个独立于天文学的数学分支。比欧洲的同类工作早了２００年。
　　
　　还应该指出，除了具体的数学工作外，阿拉伯数学以其保存希腊古代著作，吸收和发展希腊、印度及中国古代数学成果，及其对欧洲中世纪与文艺复兴时期数学的巨大影响，在世界数学史上起着沟通东西，继往开来的重要作用。
【中世纪数学】从５世纪西罗马帝国灭亡到１２世纪，一般称之为黑暗的"中世纪"，在欧洲罗马对数学仅有一些粗浅的记载。文艺复兴时代的初期，由于十字军东征，使欧洲人获得大批希腊人和阿拉伯人的著作，欧洲人对这些学术著作倍感兴趣，因而在欧洲掀起了学习、翻译希腊著作的高潮。他们翻译了希腊的欧几里得、阿基米德、海伦、德奥多西阿、托勒密、亚里士多德等人的著作，也把阿拉伯的阿尔·花拉子米等人的著作译成拉丁文，使得即将失传的著作能得以复活。既给欧洲人增加了新鲜血液，又为文艺复兴的科学发展作了准备。１３世纪初期，意大利的斐波纳契《算盘书》传入欧洲，引起欧洲人极大兴趣。在《算盘书》里介绍了很多希腊、阿拉伯的数学知识，还引进了印度B阿拉伯数码。例如介绍了整数、分数的计算方法，还介绍了比例计算、利息计算、算术级数算法、几何级数算法以及斐波纳契级数的算法等。在此之后，欧洲人不但学习、研究了希腊、阿拉伯的著作，也开始建立自己的数学，并分别在法国、英国、意大利、德国等地的大学开设了数学学科，这些大学以后都成为数学发展的基地。
　　文艺复兴时期，由于艺术家所创建的透视法，逐步形成了射影几何学；在斐波纳契《算盘书》之后，欧洲也出现了一些数学著作，从而促进了十进分数的理论及AE?运算的发展；１６世纪初期，最出色的数学成就，是意大利数学家发现了三次、四次方程的代数解法，有的使用了虚数，还改进了当时的数学符号；在三角学发展方面，欧洲人也把三角学从天文学独立出来，使之成为一门独立的学科，并重新定义了各种三角函数的概念，还编制了非常精密的三角函数表。中世纪，欧洲数学是在吸收并消化希腊、阿拉伯的数学知识之后才逐渐得到了发展的。
【近代数学史】指１７-１９世纪的数学发展概况。具体来说，就是自笛卡儿、费马创立了解析几何之后，把变量引入到数学中，使数学拓展了新的领域；而牛顿、莱布尼茨创立了微积分学；纳白尔、比尔吉发明了对数；巴斯卡、费马、惠更斯兴起了概率论；使得１７世纪欧洲数学由定量数学发展成为变量数学，并达到了一定的高峰，称为古典高等数学时AE?。到１８世纪，在数学里，逐渐形成几何学、代数学、分析学的三大分支；尤其是欧拉把以曲线为主要研究对象的微积分学拓广成以函数为主要对象，使微积分学提到极高的层次，又由于实际的需要，出现了微分方程，不久使得微分方程成为一支重要的学科。到１９世纪，由于非欧几何的诞生，射影几何的复兴，分析学的严格化，数学的公理化，成为当时的主要研究对象；并为２０世纪的数学发展，作了必要而充分的准备。
【１７世纪数学】数学史上的辉煌时AE?。１７世纪初期继续着上一世纪的研究。３０年代，费尔马与笛卡儿分别以古希腊的圆锥曲线理论为基础，通过引入坐标和变量的概念建立了几何中的曲线与代数中的方程之间的内在联系，创立了解析几何学。
　　费尔马的著作完成于１６３０年左右，虽然到１６７９年才得以出现，但其思想与方法已在同时代人中产生了影响，笛卡儿的《几何学》作为巨著《方法论》的附录，于１６３７年正式出现，标志着解析几何的诞生，并为微积分的创立做了准备。微积分是１７世纪最辉煌的数学创造，也是自希腊时代以来数学中一系列重要创造的继续和发展，尤其是自文艺复兴以来，由于科学技术中各种实际问题的推动，对变速运动规律的研究，对曲线切线、函数极值、物体重心和引力的研究，以及对曲线、曲面各种度量问题的研究，到１７世纪中期已经积累了大量具体成果和方法。１６６６年１０月，牛顿完成了第一篇系统的微积分论文，此后在将近４０年的时间里不断改进和发展了这一理论。
　　莱布尼茨于１６７３年左右独立于牛顿接触到微积分的实质性问题，大约在１６７５年完成了创建微积分的工作。与牛顿的工作相比，他更注重于发展微积分的形式化算法和建立一套简洁、明确而有效的符号，他于１６８４年先于牛顿发表了第一篇微积分论文。牛顿和莱布尼茨的历史功绩在于从众多零散成果中确立了微积分的基本概念，普遍方法和一般形式，使之最终成为一门完整而统一的数学分支。
　　１７世纪，在几何领域发生的另一场重大变革就是射影几何的建立。１６３９年，笛沙格在一篇论文中把无穷远元素引入几何学，得到射影几何中的一些基本命题，特别是"笛沙格定理"，是全部射影几何的基本定理。通过研究笛沙格的著作，巴斯卡得到射影几何中另一些重要定理，尤AE?是著名的巴斯卡定理，并于
　　１６４０年发表了《圆锥曲线论》是自阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步。
　　１７世纪，由于使用字母系数而使证明有了一种尺度，代数学已上升为一门科学，方法和理论都得以大大扩展，１６３７年，笛卡儿在《几何学》中给出了关于高次方程正根与负根个数的笛卡儿符号法则。１６５３年，巴斯卡在《论算术三角形》一书（１６６５年出现）中深入地讨论了二项式系数和基本的组合关系，并给出了数学归纳法的最早陈述。１６６５年，牛顿给出了有理指数的二项式定理，１６７１年他又给出了求方程实根近称值的牛顿法。１６９３年，莱布尼茨创立了行列式理论。１７世纪的数论主要是在费尔马的推动下进步的，他给出了关于素数、完全数、亲和数、不定方程等方面的许多重要结果，但通常只是给出命题却很少证明。证明大多由欧拉和拉格朗日在１８世纪给出，而最著名的费尔马大定理至今仍未获得证明。此外，默森尼研究了形如２P-１（ｐ为素数）的素数，笛卡儿给出了一条探索亲和数的规则。莱布尼茨得到了后人所说的用于素数检验的威尔逊定理。
１６５４年，巴斯卡与费尔马在通信中讨论了"赌博中断问题"，从而共同创立了概率论。在此基础上，１６５７年惠更斯发表了概率论的第一篇正式论文--《论赌博中的推理》，其中首次引入了"数学期望"这一重要概念。这一时期计算技术的一个十分引人注目的进步是原始计算机的发明，１６２３年，德国科学家席卡德制造了第一台机械计算机的模型。１６４２年，巴斯卡制成了第一台可供实用的计算加减法的机械，１６７１年，莱布尼茨制成了可进行乘除运算的计算机。这些工作标志着计算开始由手工时代进入机械时代，并成为后世电子计算机的源头。
　　１７世纪的数学不仅由于解析几何与微积分的创立而成为近代数学的开端，它在数学成果、方法与思想各方面的丰富创造也对后世数学的发展产生了极为深远的影响。
【１８世纪数学】１８世纪最引人注目的是微积分的迅速发展并发挥出巨大威力，一些重要概念被不断明确和深化，一些强有力的方法被建立，１８世纪中叶，多元微积分的概念与方法也已初步建立。１７４８年，欧拉出现了《无穷分析引论》，标志着微积分发展的一个新阶段，与此同时，微积分向更加广阔的领域扩展，产生了无穷级数、常微分方程、偏微分方程、变分法等重要分支，从而使现代数学中最广阔的领域--数学分析初具规模。这些进展主要是伯努利家族、泰勒、欧拉、克莱罗、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等人的推动下实现的。与分析领域的巨大成就相比，其他领域略为逊色，但仍有十分明显的进步。
　　１７１３年，雅各布·伯努利的遗著《猜度术》出现，这是概率论的第一部专著，对早期概率论作了全面总结。随后，棣莫弗在《机会论》（１７１８）、《分析杂论》（１７３０）中给出了大量新内容，１７７７年，法国人蒲产提出了著名的"投针问题"，开始了几何概率的研究。解析几何的进步与微分几何的创建交织在一起。１７０４年，牛顿发表《三次曲线》、研究了７８种可能情形中的７２种，１７１５年，约翰·伯努利引入了三个坐标面，１７３１年，克莱罗开创了空间曲线理论，是三维微分几何的第一个重大发展。此后，欧拉对解析几何、空间曲线与曲面理论都有重要贡献，１８世纪末至１９世纪初，经过蒙日及其学生们的努力，终于把微分几何作为一门独立的学科建立起来，同时他还是画法几何的奠基人。
　　在代数学方面，对五次以上代数方程公式解的探讨仍在继续，其中拉格朗日的工作对１９世纪群论的诞生有着重要意义。线性方程组及行列式已经建立了独立而系统化的理论。１７９９年，高斯继承欧拉、达朗贝尔、拉格朗日的工作，终于给
出了代数基本定理的第一个证明。１８世纪的数论主要是由欧拉推动的，他证明了费尔马提出的许多数论命题，系统地探讨了亲和数，并提出了二次互反律，这是
　　１８世纪数论中最富创造性的成果，于１８０１年被高斯证明，并称之为"算术中的宝石"。哥德巴赫（１７４２）与华林（１７７０）分别提出了他们的著名猜想，成为后世数论中的重大课题。１８世纪后期，拉格朗日、勒让德也有重要的工作。与１７世纪相比。１８世纪的数学虽然没有提供那样众多新颖而基本的概念与方法，却施展了高度的技巧，并根据科学技术特别是力学与天文学的需要，提出和解决了大量新的问题。在数学方法上则完成了从几何方法向解析方法的转变。１８世纪的数学在迅速发展的同时也暴露出其弱点：忽略了数学方法与基础的严密性，从而导致了一系列矛盾，而１８世纪的数学家对此称乎并不十分担心。这一时期的数学家大多又是物理学家，人们坚信概念与方法在物理学上的正确性保证了它们在数学上的正确性。
【１９世纪数学】１８０１年高斯发表了《算术探究》一书，表面看来称是"算术"著作，但实际是一部非常严格的数论专著；书中不但建立了严格论证的典范，还表达了追求严密论证的思想。１８３７年，狄利克雷在高斯的基础上，进一步开辟了解析数学论的新领域；之后，黎曼的工作也促进了解析数论的发展。高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶各自独立地发现了非欧几何学，从而打破了２０００年来欧几里得几何学一统天下的局面。１９世纪２０年代，高斯开拓了微分几何学，经过黎曼的工作发扬了微分几何学的研究，并建立了任意维空间内蕴几何学。在１９世纪，微积分学的严格化成了当务之急，而柯西对微积分学严格化起到了巨大作用；此外，魏尔斯特拉斯发展了柯西的论说，提出用ε-δ定义极限概念，并给予函数连续性的确切定义以及一致收敛的定义，使得微积分学以至分析学趋于完善的境界；尤其魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金等人建立了无理数的精密定义之后，更使得分析学达到完善的地步。
　　在级数方面，１８２２年，傅立叶不仅扩展了偏微分方程的研究，而且还提出三角级数的研究，从而获得许多丰硕的成果。到３０年代，伽罗瓦创造性地提出代数的最基本的结构--群论，也是抽象代数的重要组成部分。１８９９年，希尔伯特发表《几何基础》，书中阐述了欧几里得几何学的公理系统；因而数学家们为数学的各个分支纷纷建立各自的公理体系，于是形成数学走向公理化的高朝。
１９００年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上作了题为"数学问题"的报告，提出当时数学中尚未解决的２３个问题，这既是１９世纪的未决问题，又是２０世纪数学的发展方向。