关于由“确界存在定理——实数系连续性定理”推出数轴上不存在“空隙”的疑惑？

gaddismao

关于由“确界存在定理——实数系连续性定理”推出数轴上不存在“空隙”的疑惑



最近在自学《数学分析》（高等教育出版社 陈纪修版），现在看到了“实数系的连续性”这部分，具体是看了关于“确界存在定理”的证明。

此证明后，有下述一段话：“确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质，这可以从几何上加以理解：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有‘空隙’，则‘空隙’左边的数集就没有

上确界，‘空隙’右边的数集就没有下确界”。



对于此段话，我的证明方法是，假设实数不能布满整个数轴。则其中一个空隙点记为a。则a点左边的数集中的数字小于a，右边数集中的数字大于a。

则a左边的实数集记为A，右边的实数集记为B。A并B等于整个实数集。则对任意x属于A，x<a。对任意x属于B，x>a。

假设任意x0属于A，则(x0,a)中根据有理数的稠密性可以得出一个有理数记为c。所以可知x0不是A中的最大数，也就是A中不存在最大数，也就是说A中没有A的上确界。

而B中每一个数都是A的上界。但是任取一个x1属于B，则(a,x1)中根据有理数的稠密性，可知B中不存在最小数。

这样一来，A和B中都没有A的上确界。而A和B的并集是实数集。

这样就和“确界存在定理”矛盾了。因为确界存在定理证明了在实数集上，非空有上界集合必定存在一个上确界，而且这个上确界是实数。

所以可以知道，实数必定布满了整个数轴，也就是数轴上不存在“空隙”。





这是我自己粗略的证法，但是这个证法用到了“有理数的稠密性”。而且在证明的假设前提下，不能确定数轴上除了有理数和无限不循环小数外就不存其他数了（也就是说上面的a不能肯定是有理数或无理数）。那么如上面的(x0,a)这样的开区间里，“有理数的稠密性”是否一定成立是需要证明的。

但是我网上查了下，发现一般对“有理数的稠密性”的证明，都是假设数轴和实数“一一对应”，也就是前提假设就是“实数铺满了整个数轴”。

这样一来，上面的论证就成了循环论证了。

所以，请各位帮忙看看，能不能解开我的疑惑。