z 为复数，求解方程 (z+1+10i)(z+1+11i)(z+1+13i)=-3570i

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2013/03/24 04:40pm 第 1 次编辑]

解:鉴于方程左边是三项之积.
所以考虑把3570也写成三项之积.
注意到3570=14*15*17,
所以-3570i=14i*15i*17i
所以原方程既z+1+10i)(z+1+11i)(z+1+13i)=14i*15i*17i
(z+1+10i)(z+1+10i+i)(z+1+10i+3i)=14i*(14i+i)*(14i+3i)
观察得z+1+10i=14i,既z=-1+4i是一根.
......

感觉以下需要做一些艰苦的工作了.
(1)原方程展开.化成标准的三次方程形式.
(2)根据韦达定理,设另外两根为z';,z';';,列出表达式.化简后,发现
   它实际上是一个二次方程的两根.
再解出这个方程得到z';,z';';
这些工作心算不出来了,需要用草稿纸了......

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2013/03/25 00:50am 第 2 次编辑]


本以为工作会很艰难.
但意外地发现,精心地换元后,似乎不是那么艰难了,感觉还比较顺利.
正是:柳岸花明又一村!

luyuanhong

楼上 drc2000 的解答很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。