ABCD 为平行四边形，ΔABE,ΔECF,ΔFDA 的面积分别为 12,16,40 ，求 ΔAEF 的面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

概率考

天山草

楼上概率考，题目做得好。答案正确，方法无误。
还有其它方法。平行四边形的形状可以有无穷多，但其面积是个“不变量”。

luyuanhong

楼上 概率考 的解答很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天山草

luyuanhong

楼上 天山草 的解答也很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

kanyikan

记平行四边形的面积为S，△ABE的面积为S1，△ECF的面积为S2，△AFD的面积为S3，
又记BE/BC=p,CF/CD=q,
则S1=pS/2,S3=(1-q)S/2,于是，p=2S1/S， q=(S-2S3)/S
S2=(1-p)S△FBC=(1-p)qS/2
将p,q代入上式，得：S2=(1-2S1/S)(S-2S3)/2
整理，得：S^2-2(S1+S2+S3)S+4S1S3=0
解这个关于S的方程（舍去负根），得：
S=(S1+S2+S3)+√((S1+S2+S3)^2-4S1S3)
所以S△AEF=S-(S1+S2+S3)=√((S1+S2+S3)^2-4S1S3)
=√((12+16+40)^2-4×12×40)
=52

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答也很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。