抄本第三题及第四题

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第三题　如图

释题：正方形边长二寸，求等圆直径。
释图：图中正方形为一左右上外各切一等圆，下方两圆亦切底边所在直线。左上及右上两圆外公切线与底边线形成之三角形恰过正方形上方两顶点；换言之，正方形为此三角形之内接正方形，三等圆各是正方形外三三角形的内切圆。

第四题　如图

释题：等圆直径五寸，问弦长。弦，直线割弧，弧两端点之连线段。
释图：两等圆相外切（原图未精确），下方一公切线，左切点向右圆引另一切线，此切线割左圆有一弦，即求此弦长。

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关于第三题的处理
原图清晰准确，图中红线画出的直角三角形是解题的关键。
设正方形边长为2a,圆径为2x,则直角三角形的勾＝a+x，股＝2a，弦＝a+(2a-x)（切线长定理）
于是有方程(a+x)^2+(2a)^2=(3a-x)^2,
解出 x=a/2 。
若2a=2寸，则圆直径2x=1寸。

关于第四题的处理

如图，ＡＢ是两圆公切线，ＡＣ是圆Ｏ2的另一切线，Ｃ是切点，ＡＤ是所要求的弦。
作BE⊥AC于Ｅ，O1F⊥AC于Ｆ，由O1A⊥AB可以看出△O1AF相似于△ABE，相似比为1∶2（ＡＢ等于直径长）.于是ＡＤ＝2ＡＦ＝ＢＥ。
现在求ＢＥ长。连接ＡＯ2,O2C。则易知直角三角形AO2C三边之比为　1∶2∶√5　。设圆半径为r，则以此比例计算ＢＣ＝2×(2/√5)▕O2C▏=4/√5 r.
BE=(2/√5)▕BC▏=8/5 r。
若2r=5寸，则弦长ＡＤ＝ＢＥ＝４寸。