求 2√(x^2+1)+√[(x-3)^2+9] 的最小值

永远

求最小值

波斯猫猫

题：求 2√(x^2+1)+√[(x-3)^2+9] 的最小值。
提示：令点A（-x,-2）、B（x，0）、C（3，3），则AB+BC=2√(x^2+1)+√[(x-3)^2+9〕。
使AB+BC有最小值的充要条件是A、B、C三点共线，也就是AB与BC所在直线的斜率相等，
所以，2/（2x）=3/（3-x）,即x=3/4。代入算之，其最小值为25/4.

的确疏忽了，用在两点间压缩成线段的做法，只适合于线段两端都是定点的情形。

新题：求 √(x^2+1)+√[(x-3)^2+9] 的最小值。

提示：这下就没有毛病了，令点A（0,-1）、B（x，0）、C（3，3），则AB+BC=√(x^2+1)+√[(x-3)^2+9〕。
使AB+BC有最小值的充要条件是A、B、C三点共线，也就是AB与BC所在直线的斜率相等，
所以，1/x=3/（3-x）,即x=3/4。代入算之，其最小值为5.

drc2000再来

波斯猫猫 发表于 2019-7-14 17:24
题：求 2√(x^2+1)+√[(x-3)^2+9] 的最小值。
提示：令点A（-x,-2）、B（x，0）、C（3，3），则AB+BC=2√( ...

~~~~~~~~~聪明!~~~~~~~~

luyuanhong

第 2 楼中的解法，看起来很巧妙，其实是不对的。

画几何图形、在两点间拉直线的做法，只适合于线段两端都是定点的情形。

但在第 2 楼的解法中，一端是定点，另一端是动点，所以并不适用。

按照第 2 楼中的解法，求得最小值点是 x=3/4 ，求得最小值为 25/4=6.25 。

其实，真正的最小值点是 x=0.35073227… ，真正的最小值是 6.121773… ，小于 6.25 。

永远

楼上陆老师的帖子很好！已收藏

陆老师好！可否告之你在进行数值计算时（红圈部分）平时都用的啥软件？？？？？？

luyuanhong

我平时计算用的是一个很老的软件 “Derive” ，它只有在老电脑上才能正常运行。

而且打不开 “Help”，不熟悉的人，要经过一个时期的摸索，才有可能学会使用。

波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2019-7-14 17:24
题：求 2√(x^2+1)+√[(x-3)^2+9] 的最小值。
提示：令点A（-x,-2）、B（x，0）、C（3，3），则AB+BC=2√( ...

题（新）：求 √(x^2+1)+√[(x-3)^2+9] 的最小值。
提示：令点A（0,-1）、B（x，0）、C（3，3），则AB+BC=√(x^2+1)+√[(x-3)^2+9〕。
使AB+BC有最小值的充要条件是A、B、C三点共线，也就是AB与BC所在直线的斜率相等，
所以，1/x=3/（3-x）,即x=3/4。代入算之，其最小值为5.

的确，用在两点间压缩成线段的做法，只适合于线段两端都是定点的情形。

xfhaoym

波斯猫猫怎么两次谑的不一样？25/4.是最小值。有图为证：

luyuanhong

波斯猫猫

看来原题恐怕只能用导数求解，已尝试过三角法、解几法、向量法等都不大奏效，如果是“求 √(x^2+1)+√[(x-3)^2+9] 的最小值”或“求a√(x^2+1)+a√[(x-3)^2+9]（常数a＞0）的最小值 ”，情况就不一样了。