请教陆教授积分的一个问题

simpley

当求函数f(x)的旋转体的体积时，可以把体积看成分割成许多小圆柱；而当计算表面积时，则不能看成圆柱，只能看成圆台，这是为什么？
我试着分析了一下，不知对不对？
当求体积时，如果也看成圆台，则在△x内，必存在一点f(a),使得∏f(a)△x^2=圆台体积，所以，当△x趋于0时，f(a)趋于f(x),这样就可以把圆台当作圆柱来计算；而在计算表面积时，当△x很小时，就找不到这样的a,使得2∏f(a)△x=圆台表面积，因为圆台的表面积比最大的圆柱还要大。所以不能用圆柱来代替圆台。

luyuanhong

你这想法应该说还是很有道理的。

simpley

[这个贴子最后由simpley在 2013/05/08 10:44am 第 1 次编辑] 证明：当△x很小时，圆台的表面积比最大的圆柱还要大 圆台上下底半径为R，r,高为h(△x)，c=(R+r)/2,d=R-r 圆台表面积^2-圆柱表面积^2=∏^2((R+r)^2(d^2+h^2)-4R^2h^2) =∏^2(4c^2(d^2+h^2)-4R^2h^2) =∏^2(4c^2d^2+4h^2(c^2-R^2)) 设tg=h/d ∏^2(4c^2d^2+4h^2(c^2-R^2)) =∏^2(4c^2d^2+4d^2(tga)^2(c^2-R^2)) =4∏^2d^2(c^2+(tga)^2(c^2-R^2)) 可以设想c不变的情况下，减小h的长度，R也随之减小,最终会使c^2+(tga)^2(c^2-R^2)>0 不过这个证明只是在C不变的情况下证明的，不知能否推广到圆台的任意减小 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 simpley 在 时添加 -=-=-=-=- R取值于 C