O为圆心，AOBC为平行四边形，P在圆上，使得 PA^2+PB^2 最小，证明P为OC与圆的交点

luyuanhong · 发表于 2013-5-9 21:50

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

平面上有三定點ABC及一圓，其圓心為O點，半徑為r，若AOBC為平行四邊形，
其中直線AB與圓不相交，若圓上有一點P，使得(線段PA)^2+(線段PB)^2為最小時，
(1)試證：P點為OC與圓的交點
(2)試利用OA、OB、OC、r來表示(線段PA)^2+(線段PB)^2的最小值

wangyangke · 发表于 2013-5-10 18:26

1，平行四邊形AOBC的对角线AB的一侧是园O，平行四邊形AOBC的对角线AB的另一侧是顶点C
   (線段PA)^2+(線段PB)^2 ≥  2(線段PA)(線段PB)
   当  (線段PA)=(線段PB)  时，上式取等号，其左侧有极小值。
   而 (線段PA)=(線段PB)  ，只有平行四邊形AOBC是菱形；
平行四邊形AOBC是菱形，显然P點為OC與圓的交點
2，用勾股定理，
   (線段PA)^2+(線段PB)^2的最小值
=2(線段PA)^2
=2[(AB/2) ^2 +(OC/2-r) ^2)]
=2[(OA或者OB)^2 –(OC/2) ^2+(OC/2-r) ^2)]

dodonaomiki · 发表于 2013-5-10 18:57

(線段PA)^2+(線段PB)^2 ≥ 2(線段PA)(線段PB)

这个就错了，第一步就错了！
你要证明的是：在AOBC是平四边形的情况下，为什么【P點為OC與圓的交點】时娶到最小，若不是这个交点，就不是最小值。
由此，你接下来引入菱形来证明问题也是错的！

wangyangke · 发表于 2013-5-10 20:12

1，是，错了；
2，过P做AB垂线，垂足D；
(線段PA)^2+(線段PB)^2 =2(PD) ^2 + (AD) ^2 + (BD) ^2
(線段PA)^2+(線段PB)^2的最小值在于
(PD) ^2 极小值
(AD) ^2 + (BD) ^2 极小值
在AB确定的前提下，只有D是AB的中点，上面两加数极小值；即：P點為OC與圓的交點
3.D是AB的中点是垂足，，，AOBC是菱形；

dodonaomiki · 发表于 2013-5-11 02:52

第一小题配图

dodonaomiki · 发表于 2013-5-11 02:54

luyuanhong · 发表于 2013-5-11 07:33

谢谢楼上 dodonaomiki 的解答！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》原地”。

dodonaomiki · 发表于 2013-5-11 11:24

没什么，我还要感谢lu老师给予我一贯的支持和帮助！
另外说明
（2）最后一行的第2个加号为减号，粗心了，为了急于赶答案
（1）我们显然要的是OC,而非OQ，这从第2小题的表达式中看一下一目了然的啦，不过，说明一下就更好啦！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 dodonaomiki 在时添加 -=-=-=-=-
还有，∠TAC前的OA改为AC,我搞错了，太粗心了，想急着赶出答案之后睡觉的缘故。

dodonaomiki · 发表于 2013-5-11 12:36

[这个贴子最后由dodonaomiki在 2013/05/11 00:38pm 第 1 次编辑]

第一小题，我还是重做一下吧！

dodonaomiki · 发表于 2013-5-11 12:43

[这个贴子最后由dodonaomiki在 2013/05/11 00:45pm 第 1 次编辑]

第二小题，我也纠正一下！

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O为圆心，AOBC为平行四边形，P在圆上，使得 PA^2+PB^2 最小，证明P为OC与圆的交点