抄本第九、第十题

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第九题

释题：大圆直径四寸，求斜线长及小圆直径。
释图：图外廓为一正方形，以其一边为直径有一大半圆。过对边一顶点有此半圆一切线，其夹在正方形内部分为斜线段。即求此长。又有一小圆内切于斜线与正方形两边所成之直角三角形，即求此小圆直径。

第十题

释题：大正方形边长二寸，求小正方形边长。
释图：半圆内含三正方形，各正方形一边皆在半圆径上，中间大正方形两顶点在半圆上，而左右两小方形一边紧贴大方形一边，一顶点在半圆上。

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关于第九题的处理

如图，作辅助线（虚线），可知构成直角三角形，设正方形边长为2r,斜长为x。则由切线长定理及相似三角形的比例关系，
有　　2r(x-2r)=r^2,解出　x=5r/2 。
现在考虑左上角的直角三角形，三边长分别是 2r-(x-2r)=3r/2, 2r,  5r/2。它的内切圆径为  3r/2+2r- 5r/2=r。
若　2r=4寸，则斜长＝5寸, 内切（小）圆直径＝2寸。

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关于第十题的处理

如图，设大正方形边长为2a，则由勾股定理，可计算出圆半径为√５a，如虚线作直角三角形，设直径上最左边小（黑色）线段长为b,小正方形边长为x,由相似比，x^2=b(2√５a-b),而　b=(2√５a-2a-2x)/2=(√５-1)a-x，代入
得　x^2=[(√５-1)a-x][(√５+1)a+x],
化简方程得　x^2+ax-2a^2=0 ,
解出　x=a.
若大方边长＝２寸，则小方边长＝１寸。