[原创]全新推导:勾股数组通解公式及其优化与两个规律

ataorj

[这个贴子最后由ataorj在 2013/06/01 10:31am 第 4 次编辑]

[watermark]全新推导:勾股数组通解公式及其优化与两个规律
下面是原主题内容,新读者请直接到10楼
最简单的勾股数组公式与一个规律
这是我多年前推导时列出的三组中最简单的,是否通解,我忘了,应该是。给喜欢的人参考。
n≥1,m≥2,';表示平方
x:2nm
y:n(m';-1)
z:n(m';+1)
一个规律:任意一组都有3,4,5的倍数
注意:
1) 这个规律不是仅仅针对上面方程,也不是否定上面';通解';的...
2) 上面方程可能只有一个重复情形:n为1且m为3,与n为2且m为2时重复。[/watermark]

ataorj

不是通解,比如没有包括5,12,13

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2013/05/26 06:04pm 第 2 次编辑]

中华簇是通解！

       ★★★★★★   (√Xˆn)²+(√Yˆn)²=(√Zˆn)²
                       X=(2MN)ˆ2/n，
                       Y=(M²-N²)ˆ2/n,
                       Z=(M²+N²)ˆ2/n,     M﹥N,n=0，1，2，3,,,
               其中   M=[(√Zˆn+√Yˆn)/2]½
                      N=[(√Zˆn-√Yˆn)/2]½
   如： 5,12,13.
        因为 5²+12²=13²
        所以 Z=13，Y=5，n=2
        因此 M=[(√13²+√5²)/2]½=3
             N=[(√13²-√5²)/2]½=2
          即 X=(2MN)ˆ2/2=(2×3×2)=12
             Y=(M²-N²)ˆ2/2=9-4=5
             Z=(M²+N²)ˆ2/2=9+4=13.
《中华单位论》之中华簇证毕。
    哈哈！
          胡编乱造，多多指教！

ataorj

我这些东西是我在书中空白处自己划拉的。
任一勾股数组都有3,4,5的倍数,书上面有我用另外通解公式对它划拉的证明。
例子比如:5,12,13中的5和12

ataorj

另外两组我原认为别人可能发表过了,不过简单搜索了下好像没有,所以提供如下注意,易知主题那组不过是下面第一组特例)
';仍然表示平方
x=2ab
y=a';-b';
z=a';+b';
----------
x=4ab-2a-2b+1
y=2a';-2b';-2a+2b
z=2a';+2b';-2a-2b+1
------------------
这两个我当时的注解都是:完整解,都是可用刘徽公式推导出.
当时没列a,b取值范围,应该是:a>b>0,当然都是整数.
------------
一楼不知咋有干扰码,那组如下
n≥1,m≥2,';表示平方
x:2nm
y:n(m';-1)
z:n(m';+1)
---------
勾股数组一个规律:任意一组都有3,4,5的倍数
例子比如:5,12,13中的5和12,5不用说,12是3也是4的倍数

太阳

直角△ABC，两条直角边等于整数，斜边怎么判断等于整数？能找到简单方法吗？

太阳

直角△ABC，三边等于整数，三边有特殊关系值？

太阳

直角△ABC，三边等于整数，三边有特殊关系值？两边等于整数，第三边怎么判断是否等于整数？能找到简单方法吗？第三边根据勾股定理判断是否等于整数，通过计算，方法复杂...

ataorj

这个我倒没有研究。

ataorj

[这个贴子最后由ataorj在 2013/06/01 10:34am 第 1 次编辑] 全新推导:勾股数组通解公式及其优化与两个规律 13楼是勾股数组通解公式结论 说明:前面是我早期的一些研究片断,有错误.比如,刘徽公式并非是通解,我的相关结论就不可靠了.起因是我发现我在刘徽公式旁边标注:9,12,15不在其中.看张远南评价(大意.见其<数学故事丛书>):刘徽的是迄今为止最完美的表示之一. 他对丢番图公式的评价是:包含了全部的勾股数组,但是我们今天无从得知他如何得到公式的. 下面是我对丢番图公式的推导并给出更完美的表示形式.注意:细枝末节,比如a,b,t为何不可为0,为何通解等等,以后若有时间再全部思考并详细提供. ---------- 说明:';仍然表示平方,字母都首先是>0的整数 (a+b+t)';=(a+t)';+(b';+2bt+2ab) ...① 1) 2ab=t';时,则t=√(2ab),则①式可化为丢番图公式:勾股数组通解公式 (a+b+√(2ab))';=(a+√(2ab))';+(b+√(2ab))'; 2) 2bt=a';时,则t=a';/(2b),则①式可化为:勾股数组另外一个通解公式 (a+b+a';/(2b))';=(a+a';/(2b))';+(a+b)'; ...② 其实由2bt=a';,可得a=√(2bt),带入上式易知,上面两个通解公式完全等价.这两个通解公式有√或/,所以都不是很方便.下面优化②. ---------- a';/(2b)成为正整数的充要条件是: 2b=m';n,n中分解不出完全平方数,m和n至少一个为偶,且a=mnp 则a';/(2b)=np';,则②变为如下初次优化后的通解公式: x=n(mp+p';) y=n(mp+m';/2) z=n(mp+m';/2+p';) 说明:如果n中可分解出完全平方数[不包括1]则会产生无谓的重复求解,比如n=4,m=p=1时和n=m=2,p=1时都可得到:6,8,10. ---------- 上面优化后的通解公式中的/可化掉:[说明:';仍然表示平方,字母都首先是>0的整数] 1) m=2q时,得:[n中不应分解出完全平方数,否则会产生无谓的重复求解] x=n(2qp+p';) y=n(2qp+2q';) z=n(2qp+2q';+p';) 2) n=2q时,得:[q中不应分解出完全平方数,否则会产生无谓的重复求解] x=q(2mp+2p';) y=q(2mp+m';) z=q(2mp+m';+2p';) ---------- 下面针对上面优化了的公式推导勾股数组一个规律:任意一组都有3,4,5的倍数 1) m=2q时 a) 先证3 n或p或q是3的倍数时显然成立[见x或y,简述为x或y符合].下面证明其它情形: 设p=3j-k,q=3g-h.且k,h<3.则k,h=1时,x符合;k=1,h=2时,z符合;k=h=2时,x符合.证3完毕. b) 证4 n是4的倍数或p是2的倍数或q是2的倍数时x或y显然符合.下面证明其它情形: 设p=2j-1,q=2g-1.则y符合.证4完毕. c) 证5 n或p或q是5的倍数时x或y显然符合.下面证明其它情形: 设p=5j-k,q=5g-h.且k,h<5.则k,h=1时,z符合;k=1,h=2时,x符合;k=1,h=3时,z符合;k=1,h=4时,y符合;k=2,h=2时,z符合;k=2,h=3时,y符合;k=2,h=4时,x符合;k=3,h=3时,z符合;k=3,h=4时,z符合;k=4,h=4时,z符合.证5完毕. 2) n=2q时 a) 先证3 q或p或m是3的倍数时x或y显然符合.下面证明其它情形: 设p=3j-k,m=3g-h.且k,h<3.则k,h=1时,y符合;k=1,h=2时,x符合;k=h=2时,y符合.证3完毕. b) 证4 q是4的倍数或p是2的倍数或m是2的倍数时x或y显然符合.下面证明其它情形: 设p=2j-1,m=2g-1.则x符合.证4完毕. c) 证5 q或p或m是5的倍数时x或y显然符合.下面证明其它情形: 设p=5j-k,m=5g-h.且k,h<5.则k,h=1时,z符合;k=1,h=2时,x符合;k=1,h=3时,y符合;k=1,h=4时,x符合;k=2,h=2时,z符合;k=2,h=3时,x符合;k=2,h=4时,z符合;k=3,h=3时,z符合;k=3,h=4时,y符合;k=4,h=4时,z符合.证5完毕. 证毕. ---------- 另一个规律:n奇则y恒偶,n和p奇则只有y是偶数.(但是注意:y不一定大于x.) 因为n奇则m偶,见m=2q时.