设 p 是大于 3 的质数，证明：对任何正整数 n ，n^2+n+1 必为 (n+1)^p-n^p-1 的因数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

設 p 是大於3的質數，證明: 對於每一個自然數n， n^2+n+1 為 (n+1)^p-(n^p)-1 的因數

moranhuishou

当p=5时
(n+1)^5-n^5-1=5n(n+1)(n^2+n+1),
当p=7时
(n+1)^7-n^7-1=7n(n^3+2n^2+2n+1)(n^2+n+1),
…
即有
(n+1)^p-n^p-1=pn[n^(p-4)+an^(p-5)+…+an+1)(n^2+n+1),     p>3

moranhuishou

补充：
分解通式应为
(n+1)^p-n^p-1=pn*{n^(p-4)+[(p-1)/2-1][n^(p-5)+…+n]+1}*(n^2+n+1),     p>3


a=(p-1)/2-1

moranhuishou

再整理一下——
分解通式应为
(n+1)^p-n^p-1=pn*{n^(p-4)+[(p-3)/2][n^(p-5)+…+n]+1}*(n^2+n+1),     p>3

fungarwai

x=(-1+√3i)/2,y=(-1-√3i)/2
x²=(-1-√3i)/2,y²=(-1+√3i)/2
x³=1,y³=1
prem3=1,2
(-1)^p=-1
n²+n+1=0时n=x,y
(n+1)^p-n^p-1
=(-n²)^p-n^p-1
=-n²-n-1,-n²-n-1
=0

luyuanhong

楼上 fungarwai 的证明思路正确！但是没有写得很清楚，下面是详细的证明：

moranhuishou

2 3 4楼错在哪里？

moranhuishou

还是没有找到毛病，把公式再整理一下，请教lu老师

luyuanhong

下面引用由moranhuishou在 2013/06/22 01:38pm 发表的内容：
2 3 4楼错在哪里？

你完全没有用到“p 是大于 3 的质数”的条件。
如果你的证明成立，那就是说，不管 p 是什么正整数，结论都会成立。
而事实上并不如此。

moranhuishou

下面引用由luyuanhong在 2013/06/22 11:03pm 发表的内容：
你完全没有用到“p 是大于 3 的质数”的条件。
如果你的证明成立，那就是说，不管 p 是什么正整数，结论都会成立。
而事实上并不如此。

是的，这个公式是有错误的，主要错在系数没有与二项式展开有联系，有时间再认真修改一下。
我相信，这个公式是一定存在的。