用二分法证明数轴上不存在无理数

门外汉

在数轴上取一线段[0，1]，并去除[0，1]区间中间的所有点，只保留0和1两个点，称这样的区间为空闭区间，记为〈0，1〉。
    定义：设数轴上两个实数点a和b，如果a+b>0,并且a和b之间不存在其他点，则称a与b之间的区域为空闭区间，记为〈a,b〉。
    在数轴上取一空闭区间〈0，1〉，因为0和1之间没有其他点，持续进行下面的操作：     第一步，在〈0，1〉中插入1/2点，则变成2个空闭区间〈0，1/2〉和〈1/2，1〉。
    第二步，插入1/4和3/4两个点，则变成4个空闭区间〈0，1/4〉，〈1/4，2/4〉，〈2/4，3/4〉，〈3/4，1〉。
    第三步，插入1/8，3/8，5/8，7/8四个点，则变成8个空闭区间……
    第四步……
    第五步……
    ……
    可以看出来，随着操作的无限增加，插入的点越来越多，直至无穷，空闭区间也会越来越多，直至无穷。
    现在的问题是：按这样的无限操作，能不能将[0，1]区间的所有实数点全部插入到空闭区间〈0，1〉之中？
    以下是针对此问题所展开的分析：
   （1）：按照空闭区间的定义，只要空闭区间〈a，b〉的区间长度大于0，则在a和b之间的1/2处便可以插入一个点，但如果空闭区间的长度等于0，则无法再插入点。从操作的过程来看，随着操作的无限增加，空闭区间的数量无限增加，所有空闭区间的长度无限缩短，其长度的变化为1/2，1/4，1/8，1/16……，其极限为0。即：无限操作之下，最终所有的空闭区间的长度全部为0。再也插不进去任何点，即按这样的操作，[0，1]区间的所有实数点会全部插入到〈0，1〉之中。
   （2）：从操作过程来看，无论是哪一步，所插入的点都是形如p/2^n的实数点，其中p与n都是正整数。也就是所有的实数点全都是两个正整数之比，也就是插入的所有点全都是有理数点，没有无理数点，这样看来，无论如何操作，都不能将[0，1]区间的所有实数全部插入到〈0，1〉之中，这显然与（1）相矛盾。
    究竟是什么原因导致了这样的矛盾？难道无理数不存在？

elim

操作根本没有最后如何一说，所以不会有区间长度等于0的时候。所论系列操作的结果是一个集合序列的并集或一个增集合列的极限。里面有什么完全被各操作环节决定。例如每次插入的都是空区间的黄金分割点，于是得到完全不同的结果，甚至可以不含任何有理数。

无论如何，系列操作的结果是一个可数集合，缺失了不可数多个实数。

门外汉

elim 发表于 2018-3-16 05:56
操作根本没有最后如何一说，所以不会有区间长度等于0的时候。所论系列操作的结果是一个集合序列的并集或一 ...

你的意思是说空闭区间的长度无限趋近干0而永远不能等于0吗？那不是曹老先生的论点吗？

elim

数学与时间无关。对每个 n, 对应的小区间长度都大于 0. jzkyllcjl 不认为这一序列操作会有确定的结果。但集合论对这一系列操作的解读是唯一合理的：取所有中间结果的并集。jzkyllcjl 与人类数学的本质区别就是他的直觉和数学的逻辑的区别。无穷操作没有实践性，却有逻辑的确定性。这就是数学超越实践并能指导实践的道理。

jzkyllcjl 半年看不懂我十几行数学，他的论点不提也罢。

门外汉

elim 发表于 2018-3-16 06:43
数学与时间无关。对每个 n, 对应的小区间长度都大于 0. jzkyllcjl 不认为这一序列操作会有确定的结果。但集 ...

那就类比一下康托尔三分集，将线段[0，1]三等分，去掉中间的部分，得到两个闭区间，第二次三等分，得到四个闭区间，第三次三等分，得到八个闭区间……操作无限次后，所有闭区间的长度是不是为0？

elim

最后不存在区间。但还剩下不可数多个点。

jzkyllcjl

elim 发表于 2018-3-16 06:43
数学与时间无关。对每个 n, 对应的小区间长度都大于 0. jzkyllcjl 不认为这一序列操作会有确定的结果。但集 ...

你歪曲我的论述。第一，我认为无穷序列无有底，达不到底。但可以研究其极限，极限具有达不到的理想性。理想性事物的应用需要接受接受实践检验，需要有可操作的方法。第二，哥德尔不完全定理说明形式逻辑方法无法建立无矛盾的形式逻辑体系。第三，你的十几行的那个A(n)的极限是2/3的证明是错误的，不是我看不懂，而是你的极限计算过程有问题。我证明了那个A(n)的分子的极限是0，分母的极限是无穷大，所以A(n)的极限是0。是你看不懂正确的论述。不会计算那个分子的极限 。

门外汉

elim 发表于 2018-3-16 07:07
最后不存在区间。但还剩下不可数多个点。

最后不存在区间的意思是说，最后所有区间的长度全都为0，是不是？

jzkyllcjl

elim 发表于 2018-3-16 07:07
最后不存在区间。但还剩下不可数多个点。

无穷次操作 无有终了，无有最后。不是剩下不可数多个点，而是剩下序列趋向于 无穷多点，康托尔的这个无穷集合具有达不到的性质，其测度为0的说法也是具有极限性质不可达到的理想。 这个集合造成的奇异分布函数问题，可以使用全能近似分析方法解决（参看笔者的著作83页）。

elim

门外汉 发表于 2018-3-16 01:53
最后不存在区间的意思是说，最后所有区间的长度全都为0，是不是？

不是什么长度不长度的问题，而是说所剩点集中不含任何非蜕化的线段.