几何最值之最大值问题

天舟

证明：当O在正方形ABCD内时，始终有AO+BO+CO+DO≤AC+BC+DC且当且仅当O在正方形ABCD的端点上时，才取得AO+BO+CO+DO=AC+BC+DC.


或者，更一般的，一个在多边形内的点到这个多边形各个端点的和只有在这个多边形的某个端点上时，才能取到最大值。（我叫它致远点）

并且求这个致远点的确定方法。

谢谢。

xfhaoym

我只能证明一点点.更一般的不会.

xfhaoym

进一步证明:

看图:第一张图是是第二张图的部分证明.就是说P点在任何位置都没有比在AC直线上的大.

天舟

已经能证明梯形部分的了，回去有时间再写上来。（一个大佬同学（不愿提供姓名）提供了证明矩形的方法，然后发现可以推导出梯形的证明。）


(由于后面图片有点多，以后这楼就当公告牌了,上面是这楼帖子的第二次的原型，下面公告)
帖子又沉了......
没有人吗??
......
目前的问题在于找不到致远点
.......
所以做不出四边形的
帖子又沉了......
没有人吗??
帖子又沉了......
又沉了......
又沉了......
又沉了......
又沉了......
......

......

liangchuxu

此题有点疑惑，请教。

天舟

首先我们来证明这样一个东西：
如图

(构图过程请各位高手自行补脑）
证明：AB+BD≥AE+ED
证：
AB+BD=BF+BD,BF+BG≥FG+FE+EG,EG+GD≥ED
∴BF+BG+GD+EG≥EF+EG+ED
∴BF+BD≥EF+ED
∴AB+BD≥AE+ED

图中，显然AE+ED＞AB+BD
（AE+ED最小时在BC中点上不用多说吧）
得出结论：E越远离BC中点，AE+ED越大。

天舟

利用刚才的结论，可得AG+GD+BG+GC≤AF+FB+FC+FD（第二张图）


又可得出AF+FB+DF+FC≤AD+BD+CD+DD

当然，换一个点也一样。
（至于分类讨论，各位高手自行脑补）
可以得出，致远点在矩形的端点上。

天舟

（补脑过程。。）（注：AB不平行CE）
差不多方法，可以证明AE+EB≥AC+CB，至于什么时候最短，AD与直线交点不说了。

若在直线上截取一段IJ，设IJ 上存在一点O，
若O在KI之间，易得IB+IA≥OA+OB，
若O在KJ之间，易得JB+JA≥OA+OB，
得出结论：
OA+OB最大时定在I或J上。

天舟

运用第一个结论可得：AE+DE+BE+CE≤BG+AG+CG+DG（关于F,G的分类请自行解决）

运用第二个结论可得：AG+BG+CG+DG取最大时致远点定为C或D

得出结论：梯形致远点定在梯形的端点上。

天舟

这个星期如果有空，我会将关于任意三角形的证明发上来，供各位参考。
希望大家继续加油，将这个猜想证明
谢谢各位！