自然数的 2、3、4、5、…次方幂的倒数和通用表达式

天山草 · 发表于 2013-7-30 11:23

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   1859 年，黎曼发表了他的那篇关于素数个数的著名论文。文中有个公式：

天山草 · 发表于 2013-7-30 11:27

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/30 03:44pm 第 2 次编辑]

方幂的次数是偶数时，级数和的值都与 π有关，而方幂的次数是奇数时，级数和的值好像都与 π无关。那它与什么常数有关？这个常数还没有被人类发现？
若是有人发现了这个重要常数，可称为“黎曼常数”。

天山草 · 发表于 2013-7-30 13:30

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/30 01:31pm 第 1 次编辑]

若是一正一负的交错级数，可导出以下公式：

天山草 · 发表于 2013-7-30 13:39

当 Zeta() 函数的自变量是正的偶数时，其值等于圆周率的相应偶次方，再乘上某系数。这某素数另有数表【与伯努利数有关】可以查出 —— 一般数学手册上都能查到。

天山草 · 发表于 2013-7-30 14:30

天山草 · 发表于 2013-7-30 14:32

[这个贴子最后由天山草在 2013/08/02 08:15am 第 3 次编辑]

只有奇数幂且是交错级数时，……
坏了，坏了，遇到麻烦了。指数为 2 时，软件给出“Catalan”，查字典也查不到，这个什么意思？不会算了？遇到鬼了？
这个问题现在已解决，原来它表示 Catalan 常数，约等于 0.91596559417721901505460351493238411077414937428167……，这个常数在【组合数论】中会用到。
 指数为 4、6、8、10 时，Zeta 的括号里面给出了双参数：Zeta[4,1/4]、Zeta[4,3/4]，这是何意也？

任在深 · 发表于 2013-7-30 15:13

下面引用由天山草在 2013/07/30 11:27am 发表的内容：
方幂的次数是偶数时，级数和的值都与 π有关，而方幂的次数是奇数时，级数和的值好像都与 π无关。那它与什么常数有关？这个常数还没有被人类发现？

这个发现很有意思！
为什么？
更有意思！！！！！！！！！！！！！！！

天山草 · 发表于 2013-7-30 15:28

不久前，陆教授提供了下面这个公式，陆教授说是欧拉发现的，也很优美：

经验证，上面这个欧拉公式正确。

天山草 · 发表于 2013-7-30 15:34

下面引用由任在深在 2013/07/30 03:13pm 发表的内容：
这个发现很有意思！

不算是“发现”，人家官科早就知道。谁要是能找出个适当的常数出来，可称之为“黎曼常数”。

任在深 · 发表于 2013-7-30 15:40

下面引用由天山草在 2013/07/30 03:34pm 发表的内容：
不算是“发现”，人家官科早就知道。谁要是能找出个适当的常数出来，可称之为“黎曼常数”。

老师您好！
      您在认真的强调就是您的发现！
      如果是中国人发现，显然定义“黎曼常数”是不恰当的！
      祝您好运！

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