2000 亿内相邻素数各种间距数量统计

天山草 · 发表于 2013-8-1 14:07

[这个贴子最后由天山草在 2013/08/16 11:24am 第 3 次编辑]

   2000 亿内的所有素数，其相邻间距最大者是 474，因此所有各种间距有 2、4、6、……、474 这些情况。有一个间距是 1，那就是 2 与 3 这一对相邻素数，不过这是特殊情况，不必考虑了吧。
   假定在某个不大于 x 的范围内，间距为 k 的相邻素数对共有 n(k) 对，则当 x 趋于无穷大时，对于每一个 k 值，比值 n(k)/n(2) 都将趋于一个确定的常数。
   上面这段话只是一个猜想，具体验证数据见本人的另一个帖子（http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=18054&show=50）。但是那个帖子中的间距只验证到 k = 14 的情况。
   当 k = 4 时，上述那个常数等于 1；对于其它 k 值，且当 k 值较小时，例如 k 小于 100，该常数应该都比下表第三列所示的值略大一些，而不可能略小一些，也不可能比它大出很多。对于每一种间距 k，这个常数的精确值是多少，这问题大概很有些难度。
   从下表可以看出，间距是 6 的相邻素数数量最多，其次是间距 12 的，它们都比间距是 2 的孪生素数多。

间距        对数          相对数量
 k          n(k)         n(k)/n(2)
---------------------------------------
 2       424084653     1.00000000000
 4       424077103     0.99998219695
 6       774313470     1.82584647787
 8       352435343     0.83104950983
 10      459036417     1.08241695084
 12      611000736     1.44075182084
 14      343889107     0.81089731630
 16      264212068     0.62301728235
 18      491105414     1.15803628008
 20      280961829     0.66251355010
 22      239587722     0.56495258743
 24      376673537     0.88820365070
 26      184597958     0.43528563624
 28      201658885     0.47551563956
 30      379831055     0.89564914060
 32      124436045     0.29342265541
 34      131299571     0.30960698547
 36      221323736     0.52188574718
 38      106980326     0.25226172474
 40      128466589     0.30292675788
 42      198604271     0.46831279933
 44      83443891      0.19676234547
 46      73584223      0.17351305330
 48      130036635     0.30662895740
 50      76513157      0.18041953761
 52      58861522      0.13879663313
 54      100268669     0.23643550478
 56      53680784      0.12658035046
 58      46363391      0.10932579303
 60      100148976     0.23615326631
 62      32908930      0.07759990787
 64      33265366      0.07844039100
 66      63661854      0.15011591094
 68      26988194      0.06363869527
 70      38990789      0.09194105168
 72      41478665      0.09780751250
 74      20666165      0.04873122584
 76      18968121      0.04472720450
 78      36845742      0.08688298843
 80      19622509      0.04627026435
 82      14196670      0.03347602866
 84      30160307      0.07111860046
 86      11275653      0.02658821280
 88      11777865      0.02777243863
 90      24719967      0.05829017114
 92      8612696       0.02030890752
 94      7981859       0.01882138140
 96      14374564      0.03389550624
 98      7755486       0.01828758939
 100     8195852       0.01932598113
 102     11350996      0.02676587309
 104     5343474       0.01260001738
 106     4720770       0.01113166903
 108     8458205       0.01994461469
 110     5332414       0.01257393769
 112     4211470       0.00993072956
 114     6613118       0.01559386305
 116     2909955       0.00686173145
 118     2860060       0.00674407805
 120     6344011       0.01495930342
 122     2099490       0.00495063895
 124     2143519       0.00505446020
 126     4254324       0.01003178014
 128     1566597       0.00369406671
 130     2168167       0.00511258067
 132     2877944       0.00678624888
 134     1236295       0.00291520806
 136     1161506       0.00273885412
 138     2184766       0.00515172144
 140     1418232       0.00334421911
 142     857679        0.00202242405
 144     1521924       0.00358872690
 146     673807        0.00158885023
 148     725155        0.00170992983
 150     1560908       0.00368065194
 152     522128        0.00123118815
 154     649894        0.00153246291
 156     935151        0.00220510455
 158     399617        0.00094230479
 160     482730        0.00113828689
 162     647980        0.00152794966
 164     318682        0.00075145846
 166     282359        0.00066580811
 168     615357        0.00145102398
 170     309315        0.00072937089
 172     207063        0.00048825865
 174     391253        0.00092258231
 176     185676        0.00043782768
 178     170080        0.00040105200
 180     380189        0.00089649318
 182     154801        0.00036502382
 184     127979        0.00030177701
 186     219194        0.00051686379
 188     93366         0.00022015887
 190     133195        0.00031407644
 192     158084        0.00037276520
 194     73746         0.00017389453
 196     81220         0.00019151837
 198     136810        0.00032260069
 200     71734         0.00016915019
 202     53622         0.00012644174
 204     99698         0.00023508986
 206     42008         0.00009905569
 208     45592         0.00010750684
 210     109296        0.00025772213
 212     28442         0.00006706680
 214     28047         0.00006613538
 216     50234         0.00011845277
 218     23116         0.00005450799
 220     32194         0.00007591409
 222     39137         0.00009228582
 224     21781         0.00005136003
 226     15805         0.00003726850
 228     31405         0.00007405361
 230     17821         0.00004202227
 232     12871         0.00003035007
 234     23538         0.00005550307
 236     9765          0.00002302606
 238     11975         0.00002823729
 240     21605         0.00005094502
 242     7903          0.00001863543
 244     6922          0.00001632221
 246     12784         0.00003014492
 248     5812          0.00001370481
 250     7169          0.00001690464
 252     11041         0.00002603490
 254     4377          0.00001032105
 256     3833          0.00000903829
 258     7573          0.00001785728
 260     4653          0.00001097187
 262     2960          0.00000697974
 264     5943          0.00001401371
 266     2965          0.00000699153
 268     2310          0.00000544703
 270     5201          0.00001226406
 272     1695          0.00000399684
 274     1804          0.00000425387
 276     3162          0.00000745606
 278     1352          0.00000318804
 280     2121          0.00000500136
 282     2256          0.00000531969
 284     1075          0.00000253487
 286     1144          0.00000269757
 288     1670          0.00000393789
 290     1031          0.00000243112
 292     735           0.00000173314
 294     1556          0.00000366908
 296     588           0.00000138652
 298     522           0.00000123089
 300     1282          0.00000302298
 302     414           0.00000097622
 304     424           0.00000099980
 306     751           0.00000177087
 308     434           0.00000102338
 310     427           0.00000100687
 312     547           0.00000128984
 314     235           0.00000055413
 316     237           0.00000055885
 318     411           0.00000096915
 320     239           0.00000056357
 322     235           0.00000055413
 324     293           0.00000069090
 326     145           0.00000034191
 328     132           0.00000031126
 330     310           0.00000073099
 332     92            0.00000021694
 334     116           0.00000027353
 336     199           0.00000046925
 338     99            0.00000023344
 340     102           0.00000024052
 342     152           0.00000035842
 344     64            0.00000015091
 346     56            0.00000013205
 348     118           0.00000027825
 350     67            0.00000015799
 352     49            0.00000011554
 354     70            0.00000016506
 356     35            0.00000008253
 358     21            0.00000004952
 360     72            0.00000016978
 362     21            0.00000004952
 364     29            0.00000006838
 366     36            0.00000008489
 368     20            0.00000004716
 370     13            0.00000003065
 372     28            0.00000006602
 374     19            0.00000004480
 376     14            0.00000003301
 378     23            0.00000005423
 380     19            0.00000004480
 382     14            0.00000003301
 384     20            0.00000004716
 386     12            0.00000002830
 388     8             0.00000001886
 390     23            0.00000005423
 392     5             0.00000001179
 394     5             0.00000001179
 396     11            0.00000002594
 398     9             0.00000002122
 400     2             0.00000000472
 402     11            0.00000002594
 404     2             0.00000000472
 406     6             0.00000001415
 408     4             0.00000000943
 410     4             0.00000000943
 412     1             0.00000000236
 414     8             0.00000001886
 416     2             0.00000000472
 418     2             0.00000000472
 420     5             0.00000001179
 422     0             0.00000000000
 424     0             0.00000000000
 426     1             0.00000000236
 428     0             0.00000000000
 430     0             0.00000000000
 432     1             0.00000000236
 434     1             0.00000000236
 436     0             0.00000000000
 438     2             0.00000000472
 440     2             0.00000000472
 442     0             0.00000000000
 444     3             0.00000000707
 446     1             0.00000000236
 448     0             0.00000000000
 450     1             0.00000000236
 452     0             0.00000000000
 454     0             0.00000000000
 456     1             0.00000000236
 458     0             0.00000000000
 460     2             0.00000000472
 462     0             0.00000000000
 464     1             0.00000000236
 466     0             0.00000000000
 468     1             0.00000000236
 470     0             0.00000000000
 472     0             0.00000000000
 474     1             0.00000000236
------------------------------------------

天山草 · 发表于 2013-8-1 17:42

[这个贴子最后由天山草在 2013/08/01 05:42pm 第 1 次编辑]

在 2000 亿范围内，没有间距是 422，424，428，430，436，442，448，452，454，458，462，466，470，472 的相邻素数，但是，在更大的范围内，我相信会有的，不但会有，而且有任意多 —— 只要范围足够大。

moranhuishou · 发表于 2013-8-1 18:12

在更大的范围内，我相信会有的，
==============================
是的，不用很大就会有的。

qhdwwh · 发表于 2013-8-4 12:54

我将区间[101606400000002，101606400252001],7863个素数间距进行了统计,如下表:
间距个数相对数量
k n(k) n(k)/n(2)
23181
43251.022012579
66031.896226415
82740.86163522
103721.169811321
124821.51572327
143181
162220.698113208
184451.399371069
202680.842767296
222180.685534591
243651.147798742
261720.540880503
281970.619496855
303901.226415094
321240.389937107
341400.440251572
362370.745283019
381040.327044025
401330.418238994
422310.726415094
44730.229559748
46800.251572327
481670.525157233
501000.314465409
52600.188679245
541220.383647799
56670.210691824
58520.163522013
601500.471698113
62370.116352201
64570.179245283
66870.273584906
68340.106918239
70570.179245283
72600.188679245
74340.106918239
76400.125786164
78640.201257862
80320.100628931
82230.072327044
84510.160377358
86250.078616352
88190.059748428
90490.15408805
92270.08490566
94140.044025157
96330.103773585
98160.050314465
100160.050314465
102240.075471698
104100.031446541
106110.034591195
108270.08490566
11090.028301887
11290.028301887
114140.044025157
11650.01572327
11870.022012579
120230.072327044
12240.012578616
12460.018867925
126140.044025157
128100.031446541
13040.012578616
13230.009433962
13470.022012579
13650.01572327
13890.028301887
14080.025157233
14270.022012579
14430.009433962
14630.009433962
14820.006289308
15010.003144654
15210.003144654
15420.006289308
15640.012578616
15840.012578616
16020.006289308
16220.006289308
16410.003144654
16610.003144654
16830.009433962
17060.018867925
17210.003144654
17410.003144654
17610.003144654
17820.006289308
18040.012578616
18200
18410.003144654
18600
18810.003144654
19020.006289308
19230.009433962
19400
19620.006289308
19800
20010.003144654
20200
20410.003144654
20600
20810.003144654
21010.003144654
21200
21400
21600
21800
22010.003144654
22200
22400
22600
22800
23000
23200
23400
23600
23800
24000
24200
24400
24600
24800
25000
25200
25400
25600
25800
26000
26200
26400
26600
26800
27010.003144654
27200
27400
27600
27800
28020.006289308
28200
28400
28610.003144654
786224.72327044
7863个素数,有7862个素数间距,其最大间距286,孪生素数共318对.

[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 qhdwwh 在时添加 -=-=-=-=-
发出的表,数字间距没有,第一列数由2,4,6....284,286,第三列数为1或小数,其余为第二列数[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 qhdwwh 在时添加 -=-=-=-=-
第三列数为1,0或小数

天山草 · 发表于 2013-8-4 18:55

第 4 楼的 qhdwwh 网友所统计的素数很大，但是范围太小，还不足 1 万个素数。这样看不出什么效果。希望在（0，x）内统计，而且 x 要大。如果您能给出（0，100万亿）范围内的统计数据，那将十分了得。

wangyangke · 发表于 2018-4-24 06:28

重生888@ · 发表于 2018-4-24 11:48

8类素尾数的素数一样多，所以：
11-13 17-19 29-31 共有3组间距为2；
7-11    13-17 19-23 也是3组间距为4；

7-13    11-17 13-19 17-23 23-29 共有5组间距为6；

7-17    13-23 19-29 共3组间距为10

11-19    23-31 共2组间距为8

11-23    17-29 共2组间距为12

17-31    共1组    间距为14

13-29    共1组    间距为16

11-29    13-31    共2组间距为18

11-31    共1组    间距为20

7-29    共1组    间距为22

7-31    共1组    间距为24

.......

间距为6的最多，间距为2和4的一样多！

白新岭 · 发表于 2019-3-8 09:43

你的的分析很有道理，不过在分析时丢了数据，间距为6的还有1与7，实际上两个素数的差为6的数量正好是间距为2或4或8或16的2倍，这里的间距不是指是否相邻，而是指两个素数的距离。
而楼主分析的是相邻情况，那就复杂的多了，就拿相邻为6的作为一个例子比较，它的数量等于2倍孪生素数对-2倍三生素数，因为三生素数的数量比起2生素数来有1/LN(n)的比例关系，n是变化的，当然比值也在变，所以比较任何相邻素数对的数量，除了2和4以外，其它的都没有确切比值，都是一个变化值，除非到无限大时，三生素数的数量占比接近0时（实际上永远达不到，三生素数的数量随n的增大也在无限制增大，它的数量绝对不会小于2生素数的平方根。

yangchuanju · 发表于 2022-10-5 18:21

1楼楼主的数据表中含有大量乱码，令人眼花缭乱，删除乱码重新转发：
2000 亿内的所有素数，其相邻间距最大者是 474，因此所有各种间距有 2、4、6、……、474 这些情况。有一个间距是 1，那就是 2 与 3 这一对相邻素数，不过这是特殊情况，不必考虑了吧。
假定在某个不大于 x 的范围内，间距为 k 的相邻素数对共有 n(k) 对，则当 x 趋于无穷大时，对于每一个 k 值，比值 n(k)/n(2) 都将趋于一个确定的常数。
上面这段话只是一个猜想，具体验证数据见本人的另一个帖子（http://www.mathchina.com/cgi-bin ... c=18054&show=50）。但是那个帖子中的间距只验证到 k = 14 的情况。
当 k = 4 时，上述那个常数等于 1；对于其它 k 值，且当 k 值较小时，例如 k 小于 100，该常数应该都比下表第三列所示的值略大一些，而不可能略小一些，也不可能比它大出很多。对于每一种间距 k，这个常数的精确值是多少，这问题大概很有些难度。
从下表可以看出，间距是 6 的相邻素数数量最多，其次是间距 12 的，它们都比间距是 2 的孪生素数多。

间距       对数          相对数量
  k          n(k)       n(k)/n(2)
---------------------------------------
  2    424084653    1.00000000000
  4    424077103    0.99998219695
  6    774313470    1.82584647787
  8    352435343    0.83104950983
  10    459036417    1.08241695084
  12    611000736    1.44075182084
  14    343889107    0.81089731630
  16    264212068    0.62301728235
  18    491105414    1.15803628008
  20    280961829    0.66251355010
  22    239587722    0.56495258743
  24    376673537    0.88820365070
  26    184597958    0.43528563624
  28    201658885    0.47551563956
  30    379831055    0.89564914060
  32    124436045    0.29342265541
  34    131299571    0.30960698547
  36    221323736    0.52188574718
  38    106980326    0.25226172474
  40    128466589    0.30292675788
  42    198604271    0.46831279933
  44    83443891    0.19676234547
  46    73584223    0.17351305330
  48    130036635    0.30662895740
  50    76513157    0.18041953761
  52    58861522    0.13879663313
  54    100268669    0.23643550478
  56    53680784    0.12658035046
  58    46363391    0.10932579303
  60    100148976    0.23615326631
  62    32908930    0.07759990787
  64    33265366    0.07844039100
  66    63661854    0.15011591094
  68    26988194    0.06363869527
  70    38990789    0.09194105168
  72    41478665    0.09780751250
  74    20666165    0.04873122584
  76    18968121    0.04472720450
  78    36845742    0.08688298843
  80    19622509    0.04627026435
  82    14196670    0.03347602866
  84    30160307    0.07111860046
  86    11275653    0.02658821280
  88    11777865    0.02777243863
  90    24719967    0.05829017114
  92    8612696    0.02030890752
  94    7981859    0.01882138140
  96    14374564    0.03389550624
  98    7755486    0.01828758939
  100    8195852    0.01932598113
  102    11350996    0.02676587309
  104    5343474    0.01260001738
  106    4720770    0.01113166903
  108    8458205    0.01994461469
  110    5332414    0.01257393769
  112    4211470    0.00993072956
  114    6613118    0.01559386305
  116    2909955    0.00686173145
  118    2860060    0.00674407805
  120    6344011    0.01495930342
  122    2099490    0.00495063895
  124    2143519    0.00505446020
  126    4254324    0.01003178014
  128    1566597    0.00369406671
  130    2168167    0.00511258067
  132    2877944    0.00678624888
  134    1236295    0.00291520806
  136    1161506    0.00273885412
  138    2184766    0.00515172144
  140    1418232    0.00334421911
  142    857679       0.00202242405
  144    1521924    0.00358872690
  146    673807       0.00158885023
  148    725155       0.00170992983
  150    1560908    0.00368065194
  152    522128       0.00123118815
  154    649894       0.00153246291
  156    935151       0.00220510455
  158    399617       0.00094230479
  160    482730       0.00113828689
  162    647980       0.00152794966
  164    318682       0.00075145846
  166    282359       0.00066580811
  168    615357       0.00145102398
  170    309315       0.00072937089
  172    207063       0.00048825865
  174    391253       0.00092258231
  176    185676       0.00043782768
  178    170080       0.00040105200
  180    380189       0.00089649318
  182    154801       0.00036502382
  184    127979       0.00030177701
  186    219194       0.00051686379
  188    93366       0.00022015887
  190    133195       0.00031407644
  192    158084       0.00037276520
  194    73746       0.00017389453
  196    81220       0.00019151837
  198    136810       0.00032260069
  200    71734       0.00016915019
  202    53622       0.00012644174
  204    99698       0.00023508986
  206    42008       0.00009905569
  208    45592       0.00010750684
  210    109296       0.00025772213
  212    28442       0.00006706680
  214    28047       0.00006613538
  216    50234       0.00011845277
  218    23116       0.00005450799
  220    32194       0.00007591409
  222    39137       0.00009228582
  224    21781       0.00005136003
  226    15805       0.00003726850
  228    31405       0.00007405361
  230    17821       0.00004202227
  232    12871       0.00003035007
  234    23538       0.00005550307
  236    9765          0.00002302606
  238    11975       0.00002823729
  240    21605       0.00005094502
  242    7903          0.00001863543
  244    6922          0.00001632221
  246    12784       0.00003014492
  248    5812          0.00001370481
  250    7169          0.00001690464
  252    11041       0.00002603490
  254    4377          0.00001032105
  256    3833          0.00000903829
  258    7573          0.00001785728
  260    4653          0.00001097187
  262    2960          0.00000697974
  264    5943          0.00001401371
  266    2965          0.00000699153
  268    2310          0.00000544703
  270    5201          0.00001226406
  272    1695          0.00000399684
  274    1804          0.00000425387
  276    3162          0.00000745606
  278    1352          0.00000318804
  280    2121          0.00000500136
  282    2256          0.00000531969
  284    1075          0.00000253487
  286    1144          0.00000269757
  288    1670          0.00000393789
  290    1031          0.00000243112
  292    735          0.00000173314
  294    1556          0.00000366908
  296    588          0.00000138652
  298    522          0.00000123089
  300    1282          0.00000302298
  302    414          0.00000097622
  304    424          0.00000099980
  306    751          0.00000177087
  308    434          0.00000102338
  310    427          0.00000100687
  312    547          0.00000128984
  314    235          0.00000055413
  316    237          0.00000055885
  318    411          0.00000096915
  320    239          0.00000056357
  322    235          0.00000055413
  324    293          0.00000069090
  326    145          0.00000034191
  328    132          0.00000031126
  330    310          0.00000073099
  332    92          0.00000021694
  334    116          0.00000027353
  336    199          0.00000046925
  338    99          0.00000023344
  340    102          0.00000024052
  342    152          0.00000035842
  344    64          0.00000015091
  346    56          0.00000013205
  348    118          0.00000027825
  350    67          0.00000015799
  352    49          0.00000011554
  354    70          0.00000016506
  356    35          0.00000008253
  358    21          0.00000004952
  360    72          0.00000016978
  362    21          0.00000004952
  364    29          0.00000006838
  366    36          0.00000008489
  368    20          0.00000004716
  370    13          0.00000003065
  372    28          0.00000006602
  374    19          0.00000004480
  376    14          0.00000003301
  378    23          0.00000005423
  380    19          0.00000004480
  382    14          0.00000003301
  384    20          0.00000004716
  386    12          0.00000002830
  388    8          0.00000001886
  390    23          0.00000005423
  392    5          0.00000001179
  394    5          0.00000001179
  396    11          0.00000002594
  398    9          0.00000002122
  400    2          0.00000000472
  402    11          0.00000002594
  404    2          0.00000000472
  406    6          0.00000001415
  408    4          0.00000000943
  410    4          0.00000000943
  412    1          0.00000000236
  414    8          0.00000001886
  416    2          0.00000000472
  418    2          0.00000000472
  420    5          0.00000001179
  422    0          0.00000000000
  424    0          0.00000000000
  426    1          0.00000000236
  428    0          0.00000000000
  430    0          0.00000000000
  432    1          0.00000000236
  434    1          0.00000000236
  436    0          0.00000000000
  438    2          0.00000000472
  440    2          0.00000000472
  442    0          0.00000000000
  444    3          0.00000000707
  446    1          0.00000000236
  448    0          0.00000000000
  450    1          0.00000000236
  452    0          0.00000000000
  454    0          0.00000000000
  456    1          0.00000000236
  458    0          0.00000000000
  460    2          0.00000000472
  462    0          0.00000000000
  464    1          0.00000000236
  466    0          0.00000000000
  468    1          0.00000000236
  470    0          0.00000000000
  472    0          0.00000000000
  474    1          0.00000000236

独木星空谁 · 发表于 2022-10-5 20:52

本帖最后由独木星空谁于 2022-10-5 21:04 编辑

yangchuanju 发表于 2022-10-5 18:21
1楼楼主的数据表中含有大量乱码，令人眼花缭乱，删除乱码重新转发：
2000 亿内的所有素数，其相邻间距最大 ...

这种比较看不出任何变化规律，实际上广义的二生素数(P,P+2k)的数量，与哥德巴赫猜想的哈代-李给出的渐近公式，从形式上是完全一样，在歌猜中，范围值与偶数本身是同一个值，所以，即便，系数一样，其歌猜数（即素数对，称：x+y=2n的素数解组数更为妥当）也是不一样多的，而随2n的增大而增多，但是对于二生素数来说，则系数一样，就代表二生素数对一样多，因为它们的取值范围可以相同，虽然2k并不同，决定二生素数对数量多少除了范围值，就是系数，一切二生素数（P，P+2k）的数量渐近公式：
\(G_{2k}\)=2\(C_2\)∏\({P_i-1}\over{P_i-2}\)\({N-2k}\over{{ln}^2(N-2k)}\)=2\(C_2\)∏\({P_i-1}\over{P_i-2}\)\(∫_2^{N-2k}{d_x\over {{ln}^2(x)}}\),这里的x就是N，\(P_i||2k\),即\(P_i\)整除2k，从公式上可以看出，当N>>>2k,即当N远远大于2k时，其数量取决于系数\({P_i-1}\over{P_i-2}\)，而\(2^m\)的二生素数的系数一致，所以，其数量也是一样多的，我这里的二生素数不是指相邻二生素数，而是广义的二生素数（P，P+2k），就一条原则，前后两个素数的差值是2k即可（这里的前后只是相对位置而言，并不是指另个相邻素数的，头一个素数，和后边的尾部素数，因为，即便两个素数之间还有第三个素数，它们仍就称谓互为先后，它在它前面，它在它后面之意，不一定在它们之间就没有素数，有也是二生素数（P，P+2k），无，也是二生素数（P，P+2k））。

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2000 亿内相邻素数各种间距数量统计