正实数集合到底有没有上界和下界？

jzkyllcjl · 发表于 2013-8-5 16:08

正实数集合本来没有上界和下界，但是在非标准分析的朝实数域提出之后，却有了上界——无穷大数，也有了下界——正无穷小数。究竟如何？请讨论！

APB先生 · 发表于 2013-8-5 21:16

下面引用由jzkyllcjl在 2013/08/05 04:08pm 发表的内容：
正实数集合本来没有上界和下界，但是在非标准分析的朝实数域提出之后，却有了上界——无穷大数，也有了下界——正无穷小数。究竟如何？请讨论！

非标准分析的无穷大数不是一个固定不变的实数，而是无限多个“无穷大数”；非标准分析的无穷小数也不是一个固定不变的实数，而是无限多个“无穷小数”；因此非标准分析的正实数集合同样是没有固定的上界和下界。
我认为：正实数集合(0，∞]是一个良序的可数的等差数列！其首项是无穷小实数，其末项是无穷大实数；无穷小实数的个数是无限多的，无穷大实数的个数也是无限多的。
设0.0…01是一个无穷小实数，正实数集合(0，∞]这个等差数列的第n项为Pn=0.0…01+0.0…01(n-1)。
目前的中国数学界和教育界，仍在维护着百年谎言“实数集不可数”对亿万读者和学生的欺骗和误导；仍在维护着百年谎言“实数集不可数”对数学进步的阻挡；仍在维护着百年谎言“实数集不可数”继续产生含有严重错误的数学理论和书籍。

门外汉 · 发表于 2013-8-5 21:35

APB先生:无穷小实数在数轴上可以标出确切的位置吗?

太阳 · 发表于 2013-8-5 23:31

多大数能称为大数？

APB先生 · 发表于 2013-8-6 07:10

下面引用由门外汉在 2013/08/05 09:35pm 发表的内容：
APB先生:无穷小实数在数轴上可以标出确切的位置吗?

可以的！
每一个无穷小实数在实数轴上都有确切的位置；人们画出的每一个实数轴都标出了全部无穷小实数的确切位置；当人们画出的实数轴很短时，比如只有10厘米长且1厘米为一个单位长，只是不易标出而已，除非将实数轴放大到无穷多倍。如果以地球为原点，以一光年的长度为一个实数单位 1，画出实数轴，则可以很容易标出一个无穷小实数的确切位置，但是它所对应的那个无穷小实数的数值则不易精确写出。

门外汉 · 发表于 2013-8-6 09:48

原来无穷小实数是无穷多的,那么有最小的那个无穷小实数吗?

APB先生 · 发表于 2013-8-6 18:01

下面引用由门外汉在 2013/08/06 09:48am 发表的内容：
原来无穷小实数是无穷多的,那么有最小的那个无穷小实数吗?

没有最小的无穷小实数。
目前的最权威的数学手册，以此为理由认为实数集不是良序的，我则认为这是错误的；因为当 n→∞ 时，恒有 1/n＜2/n＜3/n ；如果以没有最小元为由，就认为(0,∞)不是良序的，那么也可以以没有最大元为由，认为自然数集{1,2，…}也不是良序的；显然，这是荒谬的！

jzkyllcjl · 发表于 2013-8-6 18:13

[这个贴子最后由jzkyllcjl在 2013/08/07 11:09am 第 1 次编辑]

什么是无穷大数？什么是无穷小数？这是首先需要讨论的问题。希望懂得这个问题的同志回答。

jzkyllcjl · 发表于 2013-8-7 11:26

[这个贴子最后由jzkyllcjl在 2013/08/07 11:39am 第 2 次编辑]

非标准分析中的有限性原理说道：设K为一语句集，且K的每一有限子集都有模型，则K是有模型的。非标准分析中的超实数集是根据这个原理得来的。
那么，我们可不可以说：无穷数列{n}、{n+1}的广义极限是不同的无穷大数，它们都是正实数集的上界。
又，我们可不可以说：无穷数列{1/n}、{1/n+1}的极限是大于0的不同的正无穷小数。

jzkyllcjl · 发表于 2013-8-9 11:32

下面引用由APB先生在 2013/08/05 09:16pm 发表的内容：
非标准分析的无穷大数不是一个固定不变的实数，而是无限多个“无穷大数”；非标准分析的无穷小数也不是一个固定不变的实数，而是无限多个“无穷小数”；因此非标准分析的正实数集合同样是没有固定的上界和下界。 ...

APB先生：0.0…01是什么？其中0的个数有多少？它是个定数吗？

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