张彧典雷明从不同的切入点入手，都证明了四色猜测是正确的

雷明85639720

张彧典雷明从不同的切入点入手，都证明了四色猜测是正确的
雷  明
（二○一九年八月三日）

张彧典，76岁，山西盂县人，研究四色问题已40余年；雷明，陕西华阴人，74岁，研究四色问题已35年。二人利用业余的时间，研究四色问题长达几十年，虽然研究的切入点不同，但都得到了四色猜测是正确的相同结论。
张彧典先生把H—构形（或叫染色困局）按是否是Errera（埃雷拉）—图分为“无穷循环颠倒”的构形和“有限颠倒”的构形（张先生叫Z—构形）两大类；雷明先生则把H—构形按相反色链是不能相互穿过的原理，分为“有环形链”的构形和“无环形链”的构形两大类。
张先生这里的“颠倒”实质上就是“转型交换”，即从H—构形的峰点一侧的一个同色顶点开始，交换该顶点的颜色与其对角顶点的颜色构成的色链，构形就发生了转型（即构形峰点的颜色和位置都发生了变化）。下一次“颠倒”仍是在转型后的新的构形的基础上，进行同样的从新构形的新峰点同一侧的那个新的同色顶点开始，交换该顶点的颜色与其对角顶点的颜色构成的色链，使构形再次转型。这样进行多次的重复交换，这就是张先生说的赫渥特颠倒，简称“颠倒”。
雷明先生这里说的有环形链的构形，是指不但要有经过构形围栏顶点的环形链，而且是要连续的经过构形围栏顶点中全部着有构成环形链的两种颜色的顶点。否则，就是无环形链的构形。
雷明先生解决有环形链的构形时，用的是“断链交换”法，即交换环形链内、外的任一条与环形链呈相反链的色链，从而使构成染色困局的必要条件——连通而交叉的两条链——均变得不连通（即断链）；而张先生解决无穷循环颠倒的构形时所用的“Z—换色程序”，正好与雷先生的方法是相同的，都能达到同样的效果。所以无论是在证明四色猜测或是在给平面图的4—着色实践时，只要是遇到了这样的有环形链的染色困局，都可以不要去分析它是否是Errera—图（即是不是无穷还是有限颠倒的构形），只要有环形链，一定都可以用“断链交换”法或“Z—换色程序”得到解决，给困局中的待着色顶点上图中已用过的四种颜色之一，一定是没有问题的。
现在，就只剩下张先生的非Errera—图（即有限颠倒类构形）中的无环形链的Z¬—构形和雷先生的无环形链类构形了。张先生解决有限颠倒的构形用的是“连续颠倒”法；而雷先生解决无环形链的构形用的是“转型交换”法。而这两种方法的实质又是相同的（上面我们也已说到了这一点），所以也无论是在证明四色猜测或是在给平面图的4—着色实践时，只要是遇到了这样的无环形链的染色困局，也都可以不要去分析它是不是Errera—图的无穷还是有限颠倒的构形，也可以不要再去分析它是属于需要颠倒几次的Z—构形，只要没有环形链，一定都可以通过“有限次”的“转形交换”或“有限次”的“连续颠倒”法得到解决。
到此。平面图的各种不可免构形都是可约的了，四色猜测就被证明是正确的了。但现在，他们两人在认识上还存在一点小的分岐，但不是大问题。
雷明认为这个“有限次”的“转形交换”或“有限次”的“连续颠倒”有必要给出一个“上界”。因为“无上界”就可以认为是“任意的”，而“任意的”也就可以认为是“无穷的”（但不一定也同Errera—图一样是周期循环的），而“无穷”颠倒或交换的构形，就是不可空出颜色的构形。这不就等于还没有证明平面图的不可避免的构形都是可约的吗？所以，这个“有限”没有“上界”是不行的。雷先生已证明了这个“上界”是42次“交换”或“颠倒”（其中前40次“交换”和“颠倒”都是用来“转型”的）。有了这样的“上界”，在着色时，着色者心中就有底线了，最多“颠倒”或“交换”40次，就一定可以解问题。否则，心中无底，将会发出“何时才能‘颠倒’完”的疑问！
而张先生则认为“有了”这个“有限次”的“限制”就可以了，不必要再给出“上界”值。
二人在这一问题上多次的交换过意见，也没有形成统一的认识。那么，现在也就只有“求大同”而“存小异”了。

雷  明
二○一九年八月三日于长安

注：此文已于二○一九年八月三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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