A1,A2,…，A2n+1 都在一圆心为 O 半径为 1 的半圆上，求证‖OA1+OA2+…+OA2n+1‖≥1

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

wangyangkee

[这个贴子最后由wangyangkee在 2013/08/21 04:22pm 第 1 次编辑]

求教：如果条件是2n+1个向量（单数），n趋于无穷，在半圆内；能否通过积分解决这个累计？

wangyangke

[这个贴子最后由wangyangke在 2013/08/22 02:44pm 第 1 次编辑]


1，模型：将半圆置于平面坐标xoy之第一、二象限，圆心o重合坐标原点；
2，按最不利向量和的增加值方面思维累计向量和：第一、二象限类全体由原点出发终于圆周的向量，各个的分解不外乎三个方向即x正方向、x负方向、y正方向；
3，在上述模型中，按最不利向量和的增加值方面思维，而最不利向量和的增加值的向量方向摆布是向量成对互相反向，互相抵消；较次一些不利向量和的增加值的向量方向摆布是向量的x正、负方向分量的累积值相等，互相抵消；所有向量的y正方向的分量累计；
4，最不利情形是，总2n+1个向量中，随意撇开1个，随取的2n个向量是n对反向的互相抵消向量，分别n个在x正方向、n个在x负方向；此时所有向量和值仅那撇开的1个；和值最小，所有向量的和是那个随意撇开的1个；所有向量的和值是一个向量，其向量长度最小，长度值是1；
5，次不利情形是，总2n+1个向量中，随意撇开1个，随取的2n个向量是n对相对于y轴对称的向量，分别n个在x正方向、n个在x负方向；此时x正、负方向的分量互相抵消，仅存y正方向向量；向量和值是所有向量y正方向分量与那撇开的1个的和；所有向量和值次小，所有向量和的长度次小，此长度大于1；
6，其他的向量分布情形，和值将更大；所有向量的和其向量长度大于以上情形；论题明了。