向量 AP=(1/5)AB+(2/5)AC ，求 ΔABP 与 ΔABC 面积之比

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

ccmmjj

luyucheng1

图形标注错了，下面更正。

luyucheng1

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/08/16 04:44pm 第 1 次编辑]

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。下面是我的解答：

ccmmjj

陆老师的解法不对啊！如下图，向量AP转到AC是逆时针方向，转到AB是顺时针方向，但不能保证P在三角形ABC内。
况且使用行列式的值来判断旋转方向这又涉及到向量的向量积理论，这恐怕不是区区一中学生可以理解的。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/08/16 04:46pm 第 1 次编辑]

下面引用由ccmmjj在 2013/08/16 00:40pm 发表的内容：
陆老师的解法不对啊！如下图，向量AP转到AC是逆时针方向，转到AB是顺时针方向，但不能保证P在三角形ABC内。
况且使用行列式的值来判断旋转方向这又涉及到向量的向　...

我是作了下列三个判别才确定 P 在 ΔABC 内：
（1）向量 AP 旋转到 AC 是逆时针方向，所以 P 点在 ΔABC 的 AC 边内侧。
（2）向量 BP（不是 AP）旋转到 BC 是顺时针方向，所以 P 点在 ΔABC 的 BC 边内侧。
（3）因为 P 点纵坐标大于 0 ,P 点在 ΔABC 的 AB 边上方。
这样判别下来，当然可以确定 P 在 ΔABC 内，并没有什么不对。
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判别平面向量是顺时针旋转还是逆时针旋转，用不到向量积的知识，中学生应该可以掌握：

luyucheng1

P点的判别不宜太复杂，向量和按平行四边形法则，以其一个顶点及两边为向量和构成的四边形，若同样以这个顶点为起始，以两边的方向的任意向量，只要它们均小于原向量，其和向量顶点必落在原四边形内。此题中给定的向量均小于三角形1/2构成的四边形，其点一定落在四边形内，即落在三角形内。

ccmmjj

[这个贴子最后由ccmmjj在 2013/08/20 08:29pm 第 1 次编辑]

是我看错了，以为都是AP