求下列极限的值 lim(x→1)∑(n=1,∞)nx^(n+1)

永远

求下列极限的值

永远

又或者这样表达更帖切

elim

elim

极限的的保号性及极限与有限和的可交换性是楼上解法的关键.

永远

elim 发表于 2019-8-12 07:44

当x=1时，不是常说原级数=1+2+3+……=-1/12，请问你为什么等于正无穷大。
结合主帖谈谈相关方面的问题，请给出必要分析过程

elim

永远 发表于 2019-8-13 07:03
当x=1时，不是常说原级数=1+2+3+……=-1/12，请问你为什么等于正无穷大。
结合主帖谈谈相关方面的问题， ...

凡事要真正理解, 不要道听途说什么 -1/12 啦什么的.

原级数 x^2+2x^3+...+ nx^(n+1)+.... > x^2+...+kx^(k+1)
两边令 x 趋于1 得 lim_{x→1-) ∑ nx^(n+1) ≥ 1+...+k = k(k+1)/2
由 k 的任意性就得所论极限为 ∞.

对这么简单明确的东西持怀疑态度, 表明你平时只注重技巧不注重概念和定义.

luyuanhong

请参看我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

“你真的相信全体自然数的和等于 -1/12 吗？”

www.mathchina.com/bbs/forum.php? ... t=12%2B%C2%F0%A3%BF

永远

看到一个漂亮而简洁的回答

elim

感觉e老师没说对点子上，不是太了解

"点子"没有明确的数学意义, 这么说话反映的是一知半解的思想习惯.
∑nx^{n+1) 是其部分和所成的增序列的极限, x^2+2x^3+...+kx^{k+1} 是其部分和,所以就有
∑nx^{n+1) > x^2+2x^3+...+kx^{k+1}
两边作为 x 的函数取极限, 由极限的保序性就有
lim_{x→1-) ∑nx^{n+1) ≥ 1+...+k = k(k+1)/2 对任意正整数 k 成立, 所以 lim_{x→1-) ∑nx^{n+1) =∞

如果要问在黎曼猜想语境下主贴的极限是什么的问题, 主贴需要特别澄清.