(x+2y+3)(x+4y+1)=60 有几组整数解？

luyuanhong · 发表于 2013-10-7 07:21

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

(x+2y+3)(x+4y+1)=60 有幾組整數解?

ans: 8

天山草 · 发表于 2013-10-7 09:16

x    y
----------
-63 15
-31 15
-19 3
-7 -1
-3    3
9    -1
21 -13
53 -13
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在时添加 -=-=-=-=-
软件解的，没有动脑子。

luyuanhong · 发表于 2013-10-7 13:12

谢谢楼上天山草的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ataorj · 发表于 2013-10-7 14:01

60=2*2*3*5
=1*60
=2*30
=3*20
=4*15
=5*12
=6*10
--------
=10*6
=12*5
=15*4
=20*3
=30*2
=60*1
===========
因为是求整数解,所以(x+2y+3)和(x+4y+1)都是整数:
(x+2y+3)=1
(x+4y+1)=60
-----
...
可列方程12组,一一试解...

ataorj · 发表于 2013-10-7 14:05

我这是穷举法,题目也许有其它巧法.

ataorj · 发表于 2013-10-7 14:13

比如(x+4y+1)-(x+2y+3)=2y-2
乘数差0,2,4,...,奇偶性相同中试验...

ataorj · 发表于 2013-10-7 14:26

可列方程24组,还有负数:
=(-1)*(-60)
...

ataorj · 发表于 2013-10-7 15:18

奇偶性相同:
2,30
6,10
-2,-30
-6,-10
========
-30换30,2,-2,-10,10,6,-6
Solve[{(x + 2y + 3) == -30, (x + 2y + 3)(x + 4y + 1) == 60}, {x, y}]
{{x -> -63, y -> 15}}
{{x -> 53, y -> -13}}
{{x -> -31, y -> 15}}
{{x -> 21, y -> -13}}
{{x -> -19, y -> 3}}
{{x -> 9, y -> -1}}
{{x -> -3, y -> 3}}
{{x -> -7, y -> -1}}

ataorj · 发表于 2013-10-7 15:30

其实,没必要解出,8个数值必然对应8组解,这应该才是题目意图.整数运算必然如此.

luyuanhong · 发表于 2013-10-7 16:24

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(x+2y+3)(x+4y+1)=60 有几组整数解？