献给新中国70国庆的礼物——初论自然数结构系列问答

小金牛太金牛

(1)献给新中国70国庆的礼物——初论自然数结构，并提出有望证明哥德巴赫猜想的新方法。以问答的方式展开。欢迎哥友们批判指正，共同进步，一起扫除数学发展道路上的一个障碍。
第一个问题：1是素数吗？
是，且应该是。因为，这样规定是符合素数的定义。并且让自然数的结构更加清析完备。



小金牛
2019.8.14
(2)
第2个问题：为什么2是一个极其重要的素数？
因为2是自然数中唯一的一个偶素数，利用2可以划分偶数与奇数。同时，2是一个最特别的素数。它是偶素数与奇素数的唯一的交集。
小金牛 2019.8.15
(3)
问：3在自然数很有趣吗？
是，3是当下被多数人认可的最小的奇素数，也是后面要探索的自然数结构的一个开端。为了让自然数结构更清昕，可以把0也归为自然数，0是否是自然数还存争异。这里先说明一下，什么是自然数的结构？狭义的数的结构是指由“+”这个运算所定义所形成一种三个自然数这间特定关系。这就是说自然数有其固有的结构存在。广义的数的结构可以是目前我们所有使用的算符所构成的结构。或叫算式也可以。这里我们仅仅对“+”进行探索。
之所以叫结构，还有一点，就是这种结构，和某些物质的结构一至。或许是一种巧合（猜想，幻想），或许就是自然数的名称正确，自然数就是人们感悟自然规律的数。虽然是最简单的，但往往是真理。
0在自然数中就是什么都没有，如果它发生微小的变化，就会产生奇迹般地结果。如黑洞，0半径。所以，0是自然数的“奇点”。即“0生1，1生2，2生3，3生一切”，换言之，自然规律是从无到有，从简单到复杂，从单个个体到团聚体，但存在“结构”及“结构”的不同“演化”。如现在发现，夸克的结构有双夸克结构和三夸克结构形式的粒子。自然数中最多的是双素数结鸺和三素数。当然有多素数结构，但总是可以化简成这两种类型的结构。
在数学里，0和无穷大就是起点和终点。自然界中宇宙也是从0到无穷大。
小金牛
2019.08.16
(4) 问：自然数的分布有规律吗？
当然有了，而且还有很多没有被发现的规律。我们一起来，好吗？因为我感到孤独的无助！？我们对自然数特别地熟悉，但却难以理解它对我们讲述的深层的自然的道理。
自然数本身是一个个独立的个体结构，最大特点就是具有可枚举的特性。如果可以利用一个算式进行推算，则可以认为具有连续性。例如：我们可以把自然数列表达成为首项是0，尾项是无穷大，公差是1的无穷多项的等差数列。
可是这种连续性比连续函数的连续性差太多。从更加宏观的角度看是一样的，但微观来说却大不相同了。由于自然数的独立性，或叫离散性，给我们寻找其规律性带来很大的困难。因为离散性的分析的数学工具还太少了。同时，由于独立性的存在，还会遇到不确定性的困难。
我们还是要不甘落后，勇往直前，现在于就出发。
我们已经知道每一种完全分类，都是为了寻找研究对象的共性，即每个分类个性。从而加深对事物的认识。每一个分类的标准，其实质就是一种算式，也就构成一种结构。例如：用是否可以被2整除，把自然数分划为奇数偶数。素数就是在正整数中，除了1与本身之外没有其他约数的数。或说，除了可被1整除之外，只能被自身整除的自然数。
这里，我们想说的是，素数是构成自然数的“元素”。为什么？这是从自然数结构中得到的结论。请看：
2=1+1（2个素数构成的素数，也是两个最小素数构成的最小偶数）
3=1+1+1（3个最小素数1所构成素数）=1+2（2个素数构成的素数）
4=1+1+1+1=1+3或2+2（2个素数构成的偶数）
5=1+1+1+1+1=2+3（2个素数构成的奇数或素数）
6=2+2+2（3个素数构成偶数）=1+5或3+3（2个素数构成的偶数）
7=3+2+2（3个素数构成奇数或素数）
8=3+5（2个素数构成偶数）=2+3+3（3个素数构成的偶数）
9=3+3+3（3个素数构成的奇数）=2+7（2个素数构成的奇数）
10=2+3+5（3个素数构成的偶数）=3+7或5+5（2个素数构成的偶数）这也是哥猜对于10的2个解，满足至少有一
个解存在。所以哥猜可以换言之，即大于4的任意偶数展开成两项+算式，至少有一个是由两个素数构成的解。
由此可知，构成自然数的元素就是素数。所以，素数所能表达的含义比普通自然数更丰富。
有人自然要问，你们很无聊，这没有什么用处呀？！当我们把数学与物理学联系在一起时，就容易发现，物质的
结构也是由两个或三个可以细分的部份构成的。已知夸克就是以两个或三个夸克成群结对存在的，单个夸克因为
不稳定，故不能存在。上述有多个素数构成的，虽从表达式上讲是等效，但从结构上来说也是同理，即不稳定，
或说可以且应简化成双素或三素结构。如果哥猜是正确的，则我们就可以说，自然数都是由两个或三素数构成的。
0如何处理？由于它极为特殊，只能表达为没有结构的构成。深层的含义是万事万物出现之前的初始状态，故没有
结构存在。
小金牛 2019.8.17

初论自然数结构系列问答5
问：偶数与奇数有什么不同？
答：偶数是由两个素数构成的自然数，奇数是由三个素数构成的自然数。表现为，偶数可以被2整除，奇数不能被2整除。
问：素数是什么数？
答：素数是可以构造成自然数的自然数，即素数不仅本身是自然数，而且它还可以构成比它更大的自然数。所以素数是特殊的自然数，比普通的自然数（奇数或偶数）可表达的含义更丰富多彩。偶数与素数的交集只有一个元素，就是2，所以，2可以用来划分偶数与奇数。而且，2是唯一的偶素数。能证明吗？可以。
假设有比2更大偶数，则该偶数可以写成1*2*N（N是大于1的自然数），显然，该偶数是除1以外，还有2和N两个约数，不符合素数定义的要求。所以该偶数不是素数。即没有比2更大的偶素数存在。
小金牛2019.08.18

献给新中国70国庆的礼物——初论自然数结构系列问答6
问：有素数公式吗？
答：可以说有，如梅森素数，就是用一个公式来寻找素数的。据说还有用方程式组来寻找素数的。这些都取得了不少的成果。也可以说没有，因为这些方法，能找到只是素数中的一小部分，我们希望有能找到所有素数的公式，如能找到，则哥猜也就可以用解析推算的方法证明了。可惜呀，就是找不到。真的没有吗？是的，没有。还有很多是用来估算素数的个数的。这些也取得很多成果。为什么会寻找不到素数公式呢？前面曾经讨论过，因为自然数本身是具有离散性的，连续性很差。所以，用公式只能是一种近似的，是无法精确表达的。
问：素数在自然数中有分布规律吗？
答：有，但没有简单的规律，没有办法用一个或多个公式的表达。
问：自然数中，素数有多少个，是有限个还是无穷多个呢？
答：是无穷多个。已经有很多种证明的方法。
为什么要证明这个问题呢？
答：这个问题是证明哥猜的一个前提条件。试想一下，如果素数是有限的，则就有可能在分解到某些大偶数时，出现素数不够用的情况，这样，哥猜就很可有是不成立的。而这样的担心也是很自然地会产生的，我们都知道，随着寻找素数范围的扩大，素数相互间隔会增大，素数越来越稀少，所以，才会担心素数是有限的。
献给新中国70国庆的礼物——初论自然数结构系列问答7
问：有新的办法证明素数的无穷性吗？
答：有。现在我们一起来看看如何证明，本方法还可以用来寻找新的未知的素数。

我们可以把素数分成两个集合，一个是我们已经寻找到的“已知素数”集A，另一个是我们还未发现的“未知素数”集
B。例如：A={1，2，3，5，7，11}，B={13，17，........，.....无穷大}
假设素数是有限的，对于A而言，就等价于说比7大的全部奇数中不再有素数存在。如果假设成立，则有这样的结
论：即大于7的奇数，它们只能是由A集中的元素作为约数所构成的奇数，即它们1，3，5，7的倍数奇数构成
（2的倍数除外，因为它们是大于2的偶数，不可能是素数）。但事实上，A集之外，至少存在一个奇数13，它是
一个最接近于A集中最大元素11的一个新发现奇数，同时又不是A集元素的倍数。所以，根据素数的定义，13就
是“新发现”的一个素数。则原假设不成立。素数的个数是无穷多个得证。
（把13加入到A集中，重复进行，就能够不断地发现新的素数。）
                                                                                小金牛 2019.08.19.

献给新中国70国庆的礼物——初论自然数结构系列问答8
如何证明素数对是有限的，还是无穷多个呢？
先从素数的分布规律谈起。
——素数存在定理一——对于任意指定的奇数G0，经过n次+2（有限次）操作，就能找到一个
最接近于该指定奇数的最小的新素数。
素数的分布规律是——向无穷大的方向寻找，素数间隔总体增大，但会时而变小。表面上看没有规律。事实
上，又是有规律，只是这是我们较少研究的不确定性的规律。前面提到过自然数具有离散性和不确定性，是
证明哥猜的难点。
素数存在定理一的证明如下：
假设对于任意一个指定的奇数，需要进行无限次+2操作，才能找到一个未知的新的素数是正确的。则我们只
需要举出一个反例，就可以证明原假设是不正确。
例如：47+2=49（奇数），49+2=51（奇数），51+2=53（素数），即表明，经过3次+2操作（有限次）就可
以找到素数。
由于原假设是不正确的，所以，素数存在定理一成立。
有人会问，能事先给出要经过多少次+2操作吗？如果能事先确，就可以找到素数公式了。结论是不能。只能
知道是有限次，不能事先确定。这就叫做事先不可确定性。这也就说明了想找到确定性的方法换到素数是无
法做到的。
这里的“存在”是特指存在可行的方法。
同理，可以证明另外一个素数存在定理（二）——对于任意一个指定的充分大的奇数G0（G0大于等于3），
经过n次-2（有限次）操作，就能找到一个最接近于该指定奇数的最大的素数。
例如：3-2=1（素数）。
素数存在定理（二）的证明：
假设对于任意一个指定的充分大的奇数G0，需要进行无限次-2操作，才能找到一个已知的素数是正确的。
则我们只需要举出一个反例，就可以证明原假设是不正确。例如：11-2=9，9-2=7（素数）2次就找到了。
不是无穷多次。所以原假设不正确，素数存在定理二成立。另外，对于一个指定的G0，如果经过无穷多次
-2操作，则成为负的无穷大的负整数，超出自然数的定义域，故无意义。
        现在我们来看一看素数分布有什么规律？
1，2，3，5，7，11，13，17，19.......
2-1=1，3-2=1；（相邻素数的差为1）
5-3=2，7-5=2；（相邻素数的差为2）
11-7=4；（相邻素数的差为4）
13-11=2；（相邻素数的差为2）
17-13=4；（相邻素数的差为4）
19-17=2：（相邻素数的差为2）.........
看出来了，当数增大时，差会加大，但有时又会变小，还有前面出现的“大差”（如4）后面还会出现。
（即11-7=4，之后，才会有17-13=4出现）前面没有出现的差，后面不会出现。
这就是素数分布出现不确定性问题的一种表现。由此可以的不确性函授写成Y=F[X]，区别于连续函数
Y=F（X）含义是自变量的取值是不确定的，但函数的取值却是有限的。有点像概率，但没有概率分布存在。
好了，说得太远了，回到素数对的问题。
如何证明素数对是有限的，还是无穷多个呢？
类似于找素数，我们如何找到素数对呢？
我们有待证明的素数对存在定理
对于任意指定的由两个奇数G1，G2（设G2大于等于G1），经过对G1，G2进行有限次同时+2操作，必能找到一个最接近奇数对（G1，G2）的素数对（S1，S2）（G表示奇数，S素数）。
证明：对于任意指定的奇数对（G1，G2），假设对G1，G2要经过无限次+2操作，才能找到素数对（S1，S2）是正确的。则我们只需找到一个反例，就可以否定原假设。例如：（3，9），事实上，只需经过1次同时+2，3+2=5，9+2=11，就可以找到一个素数对
（5，11）。所以原假设不成立。所以，素数对存在定理成立。
注意，素数和素数对存在定理都只是充分条件，因为它们只能找到素数和素数对，不能确保它们一定是素数或素数对。
问：什么是素数对？
答：由两个素数元素构成的自然数的数对，可表达成（S1，S2）特别地，S1=S2，一般的是S2大于S1。如
（1，1），（1，7），（2，2），（2，3），（3，7）.....；特别把S2-S1=2的素数对叫孪生素数对（差为2的素数对）。这样，可以把（1，1），（2，2），（3，3）。。。。叫独生素数对（差为0的素数对）类似地，可以有差为{2，4，6，8，....）的素数对。而哥猜的解就只要是素数对就满足要求了。最小差的素数对就是独生素数对。
显然，独生素数的个数最少，孪生素数会多一些，差（4，6，8。。。）的素数对会更多一些，因为其可供选取的元素数量增多。有了前面的素数存在定理和素数存定理，就可以证明素数对问题了。
假设把隐藏在自然数中的素数对分成已知的素数对集合A{<p1,p2>,<p3,p4>,...}，和未知的素数对集
B{<s1,s2>,<s3,s4>,.....},例如A={<3,5>,<5,7>,<11,13>};B={<17,19>,<41,43>......<s1,s2>};根据素数存在定理，从素数对,<11,13>出发，经过有限次的两个元素同时+2的操作，就必能找到新的素数对<17,19>（3次），从<3,5>,<5,7>出发，经过有限次同时+2，都能找到新的素数对。即对于任意指定的A{}，从A{}的任意数对出发，经过有限次+2操作，都能找到新的素数对，这样不断进行，就可以找到全部素对了。
证明：假设素数对是有限，则我们可以得到已知素数对的集合，但无法再找到新的素数对。这与素数对存在定理不相符，也和事实不符。所以原假设不成立。所以，素数对是无穷多个成立。
另外，判定是否是素数对，用素数的定义，由两个素数构成数对就是素数对。
                                                小金牛 2019.08.20.
献给新中国70国庆的礼物——初论自然数结构系列问答9
前面我们已经有了素数对存在定理，证明了素数对是无穷多个。同理不难证明，独生素数，孪生素数对，差4素数对，。。。等等都是无穷多个。但是，这只是一个充分条件，因为不能确保我们所找到的数对一定是素数对，只是说素数对是存在的，并且是可以找到的。
想讨论哥解，我们就会遇到如何选取，比较数对的问题。如数对（1，3），（2，5），（3，3）这些素数对的大小问题。这里我们把数对看成一个整体，用其元素的和的大小来比较。于是就有了从小到大的结果为（1，3），（3，3），（2，5）。当其和相等时，看成是等效的数对。例如：（5，5）和（3，7）是等效的。这样，哥猜的多个解可以等效地看成一个解了。（这仅仅是一种简化）。
如何寻找等效的素数对呢？
这时我们要用到等效素数对定理——对于一个任意指定的大偶数，找到一个哥解后，对该素数对的两个元素进行其中一个-2，另外一个+2的等效变换，经过有限次操作，必能找到其他的等效哥解。
证明：对于任意指定的一个大偶数2N，当有哥解时可以写为2N=（S1，S2）。假设需要进行无穷次才能找到新的哥
解是正确的。则只需找到一个反例，证明原假设是错误的，则定理是成立的。
例如：10=（5，5），经过1次-2，+2等效操作后，10=（3，7），得到另外一个解。不是无穷多次，所以等效变换定理成立。
为了证明哥哥猜，还需要一个定理——连续偶数有哥解定理——如果有一个偶数有哥解，则该偶数的后一个偶数也必有哥解。
证明方法一：已知一个大偶数2N有哥解，即2N=（S1，S2），假设2（N+1）无哥解正确。则只找到一个反例，就可以证明假是错。例如：10=（5，5）=（3，7）；有哥解，其后一个偶数是12，事实上，12=（1，11）=（5，7）有哥解。原假设是错误的。所以，连续偶数有哥解定理正确。
证明方法二：
       由素数对存在定理一可知：我们从任意的一个奇数对A（G1，G2）出发，进行有限次同时+2，必能找到一个素数对（S1，S2），则必有2N=（S1，S2）即2N有哥解。接着，我们可以把A（G1，G2）调整为B（G3，G4），即令G3=G1+2，G4=G2或G3=G1，G4=G2+2，换言之，B是A的后继奇数对，因为B比A大2。按素数对存在定理一，必能找到2（N+1）=（S3，S4），即2N+2也有哥解。当然，在寻找（S3，S4）的过程中会找到其和小于2N+2的素数对，不是我们所需的解，舍去即可。这样也可证明连续偶数有哥解。故连续偶数有哥解定理正确。

为了把问题说得更清楚，有必要说明一下，哥解的结果，即把全部的哥解（即所有的等效素数对）放在一起，可
以发现它们是连续的。例如：（1，1），（2，2），（1，3），（1，5），（3，3），（3，5），（3，7），
（5，5），（5，7），（7，7），（1，13），（3，11）。。。。把上述分别求和就得到2，4，4，6，6，8，
10，10，12，14，14，14，14，。。。若把重复的只看成“一个”，就可简化成2，4，6，8，10，12，14，。。
这就是说，素数对是具有连续性的。
连续偶数有哥解说的问题的实质上就是这种规律。
下面我们可以一起来求证哥解。
〈1〉：
2=（1，1） 有哥解；4=（2，2）=（1，3）有解；6=（1，5）=（3，3）；8=（1，7）=（3，5）；
10=（5，5）=（3，7）；12=（1，11）=（5，7）；14=（1，13）=（3，11）=（7，7）；
16=（3，13）=（5，11）；18=（1，17）=（5，13）=（7，11）；20=（1，19）=（3，17）=（7，13）；
。。。。。。。都有哥解。
〈2〉：
         任意指定一个奇数对（因为除了（2，2）是偶数的素数对之外，自然数中没有其他的偶素数对存在），如（3，9），则有从（3，9）到（5，11）（进行1次同时+2操作，必能找到数对（5，11），经过确认，是一个素数对，所以，5+11=16，即16有哥解。即2N，当N=4（N属于自然数）有哥解。接着我们从前面指定的（3，9），可以找到其后继数对（5，9）或（3，11）。
若从（5，9）出发可到（7，11）（进行1次同时+2操作有限次，），即2N+2，当N=4时，有哥解；
若从（3，11）出发可到（5，13）（进行1次同时+2操作有限次，注意是），即2N+2，当N=4时，有哥解；
（这就是连续偶数有哥解定理的一个实例）
即可以推知，2N时有哥解，2（N+1）也有哥解；由于N是自然数，自然数具有连续性，
综合<1><2>可以推知，当N取自然数时，有哥解。所以哥猜得证。
1+1证明完毕。
即，对于任意一个大偶数，总是可以分解成两个素数之和。
即：2N=p1+p2(p1,p2是素数)
若大家认可1是素数，则哥猜可以把大字去掉，变成，对于任意一个偶数总是可以分解成两个素数之和。
也可以说，所有的偶数都是由两个素数的相加构成的。

作为献给新中国70国庆的礼物，献给祖国，献给我的母亲，献喜爱哥猜，喜欢数学的人。

                                                           小金牛 2019.8.20.