等腰梯形的截线性质

ccmmjj126

如图；等腰梯形ABCD中，AD、BC分别为两底，则对截线GH来说，有：BG=DH<==>GF=EH<==>AE=BF

ccmmjj

再分析了一下题目，应该改为"当ＧＨ不平行于上下底时，有BG=DH<==>GF=EH<==>AE=BF。"
当ＧＨ平行于上下底时，是BG=CH及GF=EH及AE=DF这是个庸俗的结论。
对第一行问题的几何证明是否简捷实在，很令我怀疑。坐标或向量证明应该是容易做到的，只是怎样做到美观对称，不是简单的事情。

ccmmjj

简捷的纯几何证明已找到，这还要感谢楼下的那位用霉你老师定理的朋友，给了我寻找几何证明的信心。坐标向量证明早已找到，只是在复杂的表达式中寻找简单关系的技巧太过刻意，就不必贴出来了。

malingxiao1984

反复运用了几次梅涅劳斯定理，可以由BG=DH==>GF=EH，其它没时间试了，暂时也没时间写出详细过程。不知道这算不算几何证明。

malingxiao1984

ccmmjj 发表于 2018-4-26 09:59
再分析了一下题目，应该改为"当ＧＨ不平行于上下底时，有BG=DHGF=EHAE=BF。"
当ＧＨ平行于上下底时，是BG= ...

GH平行于上下底时，GH就是梯形的中位线，与原题不矛盾

malingxiao1984

试着写一下吧，正好有点时间。

malingxiao1984

ccmmjj 发表于 2018-4-26 09:59
再分析了一下题目，应该改为"当ＧＨ不平行于上下底时，有BG=DHGF=EHAE=BF。"
当ＧＨ平行于上下底时，是BG= ...

梅涅劳斯定理是个非常强的定理，是充要条件，而且右边是常数1，能把很多看似不相关的线段联系起来，反着推也可以推回去，包括你之前那个正三角形的题，也可以由梅涅劳斯定理证明。这个题就算GH与上下底平行也不影响证明中三角形和共线点的存在，所以不用理GH与上下底是否平行，只要等腰梯形和其中一组线段就够了。
共线点受梅涅劳斯定理约束，这是个非常强的约束条件，再加上面积关系，基本可以形成证明体系。就看怎么选择三角形和共线点了。

天山草@

任意梯形有一个有趣的性质。经过梯形两条对角线的交点与上下底平行的直线与腰相截，此截线在对角线交点处互相平分。也就是 EF = FG。

此截线的一半 （EF 或 FG）等于上下底之积除以上下底之和。即 EF = FG = AD*BC/(AD+BC)。

如果上底的长度 AD 代表某个电阻值 R1，下底的长度 BC 代表另一个电阻值 R2，那么这两个电阻并联以后的值，就等于 EF 或是 FG 的长度！

ccmmjj

证明第一步：