敬献给李政道博士 ──五猴分桃类型题简易通解公式

陈小刚陈小刚

[这个贴子最后由陈小刚陈小刚在 2014/03/28 01:08pm 第 75 次编辑]

   
                         敬献给诺贝尔奖得主李政道博士
                               ──完美简易的五猴分桃类型题通解公式
     序：“五猴分桃问题”的前身是“水手分椰子”,于1926年10月9日首先刊登在美国《星期六晚邮报》上。剧说，最早是由伟大物理学家狄拉克提出来的,  随后，在经过美国数学科普大师马丁*加德纳的介召推广后,该题得到了更为广泛的流传。1979年,“诺贝尔奖”获得者李政道博士在“中国科技大学少班”讲学时，特意提到此题。此后,研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内.
     本人曾于1979年本人受益李政道博士的对该题的推广，在月刊《中国青年》看到“五猴分桃”一题, 并通过用不定方程求得其解, 接着又推导出了这种类题型的主体公式:y=a＾n－db/c ，但最近几年我才知道这个数学问题具有较深背景和意义，随后本人又通过对原通解公式，推导过程的关健点分析。又比较容易的得到另外两种推导方法，同时也对这个数学问题作了进一步的完善，现将其在里这里发表，与大家共同分享：
      
     一,五猴分桃问题的简易通解公式
   
     通解公式 (1), y=a(a/m)^(n-1)－db/c(用于b/c为正整数时)
     通解公式 (2),y=[ka(a/m)^(n-1)－db]/c(用于b/c不为正整数时)
     公式中:
     y ── 被分的桃子的总个数
     n ── 总共分的次数
     a ── 每次分的份数,
     b ── 每次分a份后的余数.
     c ── 每次分a份后拿走的份数,
     d ── 每次分a份后拿走c份后,剩下再分的份数.
     m ── (a/d)的最大公约数（包括1在内）
     k ── 能使y值为正整数的正整数  
     注：
    （1）在上试公式中，按照这种类型题题意的要求；y、a、b、c、d、m都为正整数，n大于等于2。
    （2）对于通解公式1，当 b/c 为正整数, 则通解公式必定有解．若b/c不是一个正整数时,  则用通解公式2求解,
    （3）对于通解公式2，当b/m为正整数, 则通解公式必定有解．反之,若b/m不是一个正整数,  则通解公式2无解,
    （4）通解公式2中的k，可通过求k公式:  k=(fc+b)(m/d)^(n-1)而得到, (试中k为正整数,f是能使k取整的自然数, 在一般情况下, k会小于=c),然后再将k值代进公式2, 便可很容易的直接得到解
   
　  二，通解公式的推导；
     1，推导公式例题，“九猴分桃”
     由于“五猴分桃”在本人推导出的“通解公式”里，已成了一个很简单的计算题目，不足以说明公式对这种类型题目的,全方位的通解能力；故加大该题目难度和复杂性，改成“九猴分桃”,其题如下：
     话说某天有9只猴子忙了一整天，采摘了一堆很大的桃子后，都因太疲劳而睡着了。
     晚上某只猴子先悄悄的起床, 将桃子分成9份，结果发现多了8个桃子于是它吃掉这8个桃子，并贪心的拿走了9份中的2份，然后把剩下的桃子混在一起放回原处后，悄悄的回去睡觉了。
     过了一会儿，另一只猴子也悄悄的起床，将剩下的桃子也分成9份, 结果也刚好多余8个桃子；它也吃掉了这8个桃子，然后也藏了9份中的2份，把剩下的桃子混在一起，也悄悄滴回去睡觉了。
     又过了一会儿 ......  
     又过了一会儿 ......  
当第7只猴子也像前面的6只猴只一样，把桃子也分成了9份, 得意的吃着多余的8个桃子时,这时突然有几只老虎吼叫而来，吓得9只猴子连蹦带窜，落荒而逃。现在，请问各位，这堆桃子最少共有多少个,
     2，公式的论证与推导
设: 被分的桃子数总共为y个，每次分的总份数为a, 余数为 b.每次分a份后拿走的为c份，剩下再分的份数为b ，总共分的次数为n次，最后一个人分a份时的每份为x（x为正整数）
那么, 最后一个分到桃子的猴子,看到的桃子数是 ：ax+b
     上一个猴子看到的桃子数则为 ：(xa+b)a/d+b= a2x/d＋ba/d＋b。　(注，推导过程中的数字2.3.4.....n和n-1均为上标，后面相同)
     再上一个猴子看到的桃子数为 (a2x/d＋ab/d＋b)a/d＋b= a3x/d2＋b(a/d)2＋b（a/d）＋b。  
     同样：再上一个猴子看到的桃子数为：a4x/d3＋b(a/d)3＋b(a/d)2＋b(a/d)＋b。
也同样有，最初一个猴子看到的桃子数为： a7x/d6＋[(a/d)6＋(a/d)5＋(a/d)4＋(a/d)3＋(a/d)2＋(a/d)＋1]b。
     根据等比数例递推公式并加以整理有：      
     y={anx＋{an-1[1-(d/a)n]/(1-d/a)}b}/dn-1　(注，推导过程中的n和n-1均为上标，后面相同)
     ={anx＋{an-1[1-(d/a)n]}ba/c}/dn-
     =[anx＋(an-1- an-1dn/an)ad/c]/dn-1
     =[anx＋(an-dn)b/c]/dn-1
     =(anx＋anb/c-dnb/c)/dn-1
     =(anx＋anb/c)/dn-1-db/c
     从上而得到求解的基本方程: y=an(x＋b/c)/dn-1-db/c,并由此可以得到一个简易公式,和两个简易通解公式,现认证如下:
    （1）当上式中的a(a/d)^(n-1)部分, 若(a/d)无公约数时,则a^n与d^(n-1)互质, 故上式可进一步写成：y=a^n[(x＋b/c)/d^(n-1)]-db/c
     从上式可看出：根据题意dn-1必然是正整数，当(b/c)也为正整数，则(x+b/c)/dn-1 必可取得最小自然数1, 或1 的任意整倍数, 通常在计算时，为了简便，一般取最小自然数1, 则上述方程可简写成，简易公式：y=a^n－db/c,当b/c为正数时, 这个公式可看作是这种类型题目的通解，但不一定是最小解。
    （2）若出现(a/d)有公约数这种情况时，此时y值，还会有比公式，y=a^n－db/c更小的解，
     现在我们接着  y=a^n(x＋b/c)/d^(n-1)-db/c，这一步继续求证，设m为(a/b)的最大公约数，则有：
y ＝a[(a/m)/(d/m)]^(n-1)(x＋b/c)-db/c
   ＝a(a/m)^(n-1)(x＋b/c)/(d/m)^(n-1) -db/c。
       根据上面第一种情况后面的同样道理，同样可得到：y=a(a/m)^(n-1)－db/c, (即通解公式1)
      
     (3),若上式中的b/c不为正整数, 则可用通解公式(2);y=[ka(a/m)^(n-1)－db]/c.来求解,其证明如下:
       对于基础方程y= [a(a/m)]^(n-1)(x＋b/c)/(d/m)^(n-1)]-db/c, 可将其中的a(a/m)^(n-1)(x＋b/c)/(d/m)]^(n-1)部分的分子分母同剩以c, 得到y= a(a/m)]^(n-1)(x＋b/c)c/c(d/m)]^(n-1)-db/c,(记为w), 并使得(x＋b/c)c=k(d/m)]^(n-1) (k为正整数)这样式w便成了y=ka(a/m)^(n-1)/c-db/c,进一步变形得到y=[ka(a/m)^(n-1)-db]/c,(即通解公式(2)
     (4),关于公式(2)中k的推导; 设x=[k(d/m)]^(n-1) -b]/c, 则有cx+b=k(d/m)]^(n-1),所以有k=cx+b/(d/m)^(n-1),最后得到:k=(fc+b)(m/d)^(n-1),
     有了这个已得到通解公式,a(a/m)^(n-1)－db/c 以及对推导过程关健点的分析,我们便能很容易的得到; 通解公式推导方法二和推导方法三。(见驿动的心陈小刚的博客)
，
     例二，在《十六水手分椰子》一题中   
     a=16,   n=11,   b=12,   d=13,   c=3 ，
     根据通解公式有： y=16^11－12×13/3=17592186044364 。
     例三，同样,在《二十三海盗分珠宝》一题中  a=15, n=11, b=18, d=21, c=2 根据通解公式有： y=23^15－18×21/2= 23的15次方－189 =2666352354391245418。
以上两题为精简编幅。不再逐题进行验证 (读者可自己验证)。
     后记：本文在解决“五猴分桃问题”简易计算方法这个问题上，跳出了单个、局部考虑问题的思路, 从这个问题的分的规律来寻找整体解决方案，得到了简易通解公式通解公式1: y=a(a/m)^(n-1)－db/c 和它的姊妹公式2；y=[ka(a/m)^(n-1)－db]/c:
    1,在这个公式里，由于a和n可为任意数,且其它影响计算结果的因素又都可以是变量; 因此 这个公式穷极了,求解这类问题的深度和广度；
    2,由于各个变量都没有相关的系数计算，且在公式里都是单独出现,同时有解无解的条件也十分明确,此这个通解公式应是求解这种类型题的最简计算公式。
    3,通解公式所得到的解，又是符合这类题目的求最小解的要求， 因此可以说，这个提出来已半个多世纪的数学问题 ，已经得到较园满的解决
有了这些, 我们就可以说；这个已有半个多世纪的数学问题，已经得到了较园满的解决。
  
     公式主体部分发表时间：2012年4月21日（见本人博客:驿动的心陈小刚)：
   
                                       中国湖南省祁阳陈小刚2014-1-18第三次修改