已知数列 {a(n)} 满足 a(1)=1 ，a(n)=a(n-1)+1/[a(n-1)]^2 ，求证：a(2015)＞18

luyuanhong

这是网友 tigerfull 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

已知数列, a(1)=1 ,a(n)=a(n-1)+1/[a(n-1)]^2 ,求证 a(2015)>18

drc2000再来

EXCEL计算结果
1
2
2.25
2.447530864
2.614464421
2.76076112
2.891963689
3.011531514
3.121793339
3.224403814
3.320587441
3.411279687
3.49721375
3.578976529
3.657046191
3.73181821
3.80362393
3.87274411
3.939419013
4.003856063
4.066235735
4.126716168
4.185436811
4.24252134
4.298080021
4.352211639
4.405005082
4.456540663
4.506891216
4.556123032
4.604296633
4.651467451
4.697686396
4.74300035
4.787452594
4.831083178
4.873929245
4.916025316
4.957403534
4.998093887
5.038124402
5.077521318
5.116309238
。。。
从a（1942）开始超18，以下结果：
18.00278566
18.00587112
18.00895553
18.01203888
18.01512118
18.01820242
18.02128261
18.02436174
18.02743982
18.03051685
18.03359283
18.03666777
18.03974165
18.04281448
18.04588627
18.04895702
18.05202672
18.05509537
18.05816298
18.06122955
18.06429508
18.06735957
18.07042302
18.07348543
18.0765468
18.07960714
18.08266644
18.0857247
18.08878193
18.09183813
18.09489329
18.09794743
18.10100053
18.1040526
18.10710365
18.11015366
18.11320265
18.11625061
18.11929755
18.12234346
18.12538835
18.12843221
18.13147505
18.13451688
18.13755768
18.14059746
18.14363622
18.14667397
18.14971069
18.15274641
18.1557811
18.15881479
18.16184745
18.16487911
18.16790976
18.17093939
18.17396801
18.17699563
18.18002223
18.18304783
18.18607242
18.189096
18.19211858
18.19514016
18.19816073
18.2011803
18.20419887
18.20721643
18.210233
18.21324857
18.21626314
18.21927671
18.22228928
18.22530086
18.22831144

elim

这个题目，也许编程数值计算是最简单的解法。不过有趣的是我们能够指出所论序列有关的一些极限，并且给出 a(n) 的渐近公式。以至于对一些极大的 n, 我们仍然可以高精度地算出 a(n), a(n)/n^(1/3) 等等：

luyuanhong

谢谢楼上 elim 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

xfhaoym

看着elim的数学很费力!是不是有更好的办法?

elim

xfhaoym 发表于 2018-4-29 16:05
看着elim的数学很费力!是不是有更好的办法?

我前面的解法还不知道哪里有课程教，当然吃力。
也许可以找到一个简单容易分析的序列 b(n) 足够靠近 a(n)... 不过下面的做法应该是最简单的：

elim

王守恩

xfhaoym 发表于 2018-4-30 07:05
看着elim的数学很费力!是不是有更好的办法?

  谢谢xfhaoym！敢大胆的问。
谢谢elim！我们只能欣赏，膜拜，事后揣摩。
百米赛跑，elim一步就到了（好像是永远说的，蛮形象）。