x^2000-1 除以 x^4+x^3+2x^2+x+1 的余式为 ax^3+bx^2+cx+d ，求 a+b+c+d

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

(x^2000-1) 除以 (x^4+x^3+2x^2+x+1)的餘式為 ax^3+bx^2+cx+d,求 a+b+c+d

ans:   a+b+c+d=-6

fungarwai

x^2000-1=(x^4+x^3+2x^2+x+1)Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d
x^4+x^3+2x^2+x+1=(x^2+1)(x^2+x+1)=0
x=i,-i,(-1+√3i)/2,(-1-√3i)/2
x=±i：
-ai-b+ci+d=0
ai-b-ci+d=0
a=c,b=d
x=(-1±√3i)/2,x^2=-x-1,x^3=1
a+b(-1-√3i)/2+a(-1+√3i)/2+b=(-3-√3i)/2
a/2+b/2+(a-b)√3i/2=(-3-√3i)/2
a+b(-1+√3i)/2+a(-1-√3i)/2+b=(-3+√3i)/2
a/2+b/2+(b-a)√3i/2=(-3+√3i)/2
a+b=-3,a-b=-1
a=-2,b=-1
a+b+c+d=-6

luyuanhong

谢谢楼上 fungarwai 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。