[转帖]专家：数学家不一定占优势的问题

denglongshan

来自四面体的挑战
杨 路
人们对三角形已知道很多，上个世纪最后三十年是三角形几何学兴旺发达的年代。本世纪初人们试图将三角形的许多性质引申到四面体——最简单的多面体，事实证明，发展四面体的几何学比三角形几何学困难得多，有些提法并不复杂的问题至今未能解决。本文涉及的10个问题的解虽然其中绝大部分现在是知道了，但在我念中学的时代，大多数还是没有解决的。这些问题的解见于国内外高级或中级学术刊物，本文的读者不一定都知道。读者如果乐意，不妨尝试独立地作出问题的解。当然，希望所获解法是较为初等的，不依赖于较高深的数学工具。
问题1 已知一个四面体的六条棱之长，计算这个四面体的各个二面角。
近年来的数学普及刊物上常有介绍根据四面体六条棱长计算体积的公式的文章，但计算二面角的公式却难于见到。这公式在确定分子三维结构的计算中是有用的。
问题2 给定了六条线段，它们的长度是六个正数。试问这六个正数满足什么样的条件时，这六条线段可以构成某个四面体的六条棱？
所求条件相当于三角形不等式对于四面体的推广，困难在于证明条件的充分性。
问题3 证明：四面体的四条高线中如果有三条交于一点，则第四条高线也必通过这个公共点。顺便说明一下，不要错误地认为任何四面体的四条高线必然共点，一般的四面体并不象三角形那样具有垂心性质，事实上三角形的垂心性质也不是平凡和显然的。希腊时代的大几何学家包括欧几里德都不知三角形的三高线共点，爱因斯坦称之为“美丽而非凡”的性质。
问题4 设一个四面体的体积为，它的内切球在每面上有一个切点，设以这四个切点为顶点的小四面体体积为。求证：，并且等号何时成立？这个结果早有人猜想到，最近又有人写出了严格证明，但迄今尚未发表。
问题5 为了能够存在一个球与给定四面体的六条棱都相切，这个四面体应当满足什么样的条件？这问题在最近国外一篇论文中已经解决。当然，比较困难的是证明条件的充分性。
问题6 设四面体体积为 ，其四个侧面三角形的面积为 ，， 和 。求证：
                   ，
并且这里的等号仅对正四面体达到。
问题7 已给一个四面体，是否存在一个新的四面体，它的每个二面角都比原四面体的相应的二面角小一些？这问题的答案是否定的，但不容易下手。因为四面体不象三角形，它的六个二面角之和并不等于定值。
问题8 设某个四面体的各棱长之和为E，又在该四面体内部有一小四面体其各棱长之和为。求证：这和三角形的情况明显不同。任何内部三角形的周界总不超过外围三角形的周界，但是内部四面体的总棱长可以超过外围四面体的总棱长，甚至可以充分接近后者的倍！
问题9 将四面体的每一双对棱之间的距离（即公垂线的长度）叫做四面体的一个“宽度”。一个四面体的三个宽和四个高这七个量不是完全独立的，而是被一个并不复杂的方程所联系。试找到这个方程。这是一个完全新的问题。我已经知道这方程是什么以及怎样证明，但不写在这短文里。
问题10 已经知道四面体的某个顶点所在三面角的三个表面角的值，试决定这个顶点所对的底面三角形的所有可能具有的形状。这是一个迄今未能解决的问题，只是对于特殊情况有些结果。例如，如果顶点三面角的三个表面角都是直角，则任何一个锐角三角形都可以作为这个顶点所对的底面。但是一般情形下的解我们还不知道。这问题在国际数学家之间流传，最近又在专业学术会议上作为未解决问题提出征解。对于这样的挑战，专业数学家较之青年数学爱好者也未必占有多大的优势，不是这样吗？
注：杨路是科学院专家。

drc2000

下面引用由denglongshan在 2013/11/04 08:40am 发表的内容：
来自四面体的挑战
杨 路
人们对三角形已知道很多，上个世纪最后三十年是三角形几何学兴旺发达的年代。本世纪初人们试图将三角形的许多性质引申到四面体——最简单的多面体，事实证明，发展四面体的几何学比三角　...

谢谢denglongshan先生的介绍。

denglongshan

老师不必客气

denglongshan

回顾一下，这几年有进展吗