【Awei的数学题】一组勾股数里最大的数为a，那么a的奇质因数必为4k+1型质数。

awei

【Awei的数学题】一组勾股数里最大的数为a，那么a的奇质因数必为4k+1型质数。
1.（3、4、5） 2.（6、8、10） 3.（5、12、13） 4.（8、15、17） 5.（7、24、25） 6.（9、40、41） 7.（10、24、26） 8.（11、60、61） 9.（12、35、37） 10.（48、55、73） 11.（12、16、20） 12.（13、84、85） 13.（20、21、29） 14.（20、99、101） 15.（60、91、109） 16.（15、112、113） 17,（17,144,145） 18,(19,180,181)

malingxiao1984

首先，勾股数组的基本解为，a=m^2-n^2，b=2mn，c=m^2+n^2，这个通解的严格证明很容易找到，此处略。通解可以看作上述数组的整数倍，所以只考虑基本解。
关于两数的平方和，高斯曾证明如下定理：
正整数n是两数平方和的充要条件为：n的无平方因子部分m'要么为1，要么m'的每个素因子均为两数平方和。
而更早的时候，欧拉证明了另一个定理：
素数p为两数平方和的充要条件为p=2，或者p模4余1。
以上定理可以参考冯克勤所著的《平方和》

awei

malingxiao1984 发表于 2018-5-3 13:43
首先，勾股数组的基本解为，a=m^2-n^2，b=2mn，c=m^2+n^2，这个通解的严格证明很容易找到，此处略。通解可 ...

谢谢老师回帖！下面是我的思路，
①要理解欧拉准则：a是模p的二次剩余，有a^［（p-1）/2］≡1（mod p），反之a不是模p的二次剩余，则有a^［（p-1）/2］≡-1（mod p）。
②用欧拉准则准则推导下面结论成立。
把奇素数分为两类：-1是模它的二次剩余。-1是模它的二次非剩余。即奇素数分为除4余1的和除4余3的。
结论一：-1是模p的二次剩余，a+b＝p，a和b中一定不会只有一个是模p的二次剩余。要么都是，要么都不是。
结论二：-1是模p的二次非剩余，a+b＝p，a和b中只能有一个是模p的二次剩余。（证明过程见我以前的帖子）
③两个较小的勾股数可以看成最大勾股数奇质因数的两个二次剩余。由结论一和二得出-1是最大勾股数奇质因数的二次剩余。因此一组勾股数中最大数的奇质因数只能是4k+1型质数。
粗略的写了一下，如有疏漏请包涵！

awei

其实主要还是结论一｀二和它们的逆定理都成立。我没写逆定理，还是用公式比较简明，勒让德符号表示就可以了。
虽然像欧拉准则那样，理解起来比较绕 ，但明白了就觉得非常简单。