魔方、杂耍、数学——数学家的多重维度

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魔方、杂耍、数学——数学家的多重维度

这是台湾中央研究院数学所刘太平、叶永南两位教授对葛立恒（他岳母给他起的中文名）的访谈，葛立恒在离散数学领域有许多成果。数学之外，他喜欢玩魔方、杂耍，魔术等。他与人合著了两本极好的书，《具体数学》（与高德纳合著），还有关于洗牌的《魔法数学》。

策划 | 刘太平
访问 | 刘太平、叶永南
时间 | 2015年10月7日
地点 | 中央研究院数学研究所
整理 | 《数学传播》编辑室


Ronald Lewis "Ron" Graham（中文名 葛立恒）教授1935年10月31日出生于Taft， California。1962年在UC Berkeley获Ph.D.学位。先后任职Bell Labs和AT&T Labs，并曾在AT&T担任资讯科学所所长。1999离开AT&T，现任教UCSD，同时也是Cal-(IT)²首席科学家。 他在1993～1994年担任美国数学会会长。

Graham教授在离散数学等核心领域有重要贡献，曾获多项殊荣，包括2003年美国数学会Steele Prize终生成就奖。本访谈中先生展现其宽阔的见识，理论应用出入无碍的学术精神。

刘太平 (以下简称“刘”)： 你常提到Erdos [Paul Erdos (1913～1996)， 匈牙利籍数学家， 研究领域涵盖组合数学、 图论、 数论、 古典分析、 逼近理论、 集合论和机率论。] ，我想请问一下：什么原因让他选择过那种独特的生活方式？

Graham (以下简称“G”)： 嗯……这可难说了。有一位匈牙利数学家名叫László Babai [1950～， 匈牙利籍数学家， 芝加哥大学计算机科学暨数学系教授， 研究演算法、 计算复杂性理论、 组合数学和有限群， 并强调这些领域之间的相互作用。他于2017年提出图同构问题的准多项式 (quasipolynomial) 时间演算法。] ，目前在芝加哥大学。我第一次遇见他时，他年方19，现在已年约62。他曾写过上百页的Erdos传记。在Erdos求学时期，匈牙利严格限制犹太大学生的人数。这个限制极为严格，而数学是一个容许你实际去学习的领域。Erdos的两个姐姐都在他出生前后过世，因此母亲对他百般呵护。他母亲其实是一位数学老师，因此Erdos大半时间在家自学。举例来说，他不知道如何把奶油涂在面包上，因为他从来不需要做这种事，妈妈总是为他打点好。他在英国时，才发现“原来我做得到！”。有一本很好的童书，题为“The Boy Who Loved Math” (“一个热爱数学的男孩”) ，述说Erdos的少年时期及成长历程。这是一本很迷人的小书，而我的工作就是确认Erdos黑板上和其他地方随兴写的数学是正确的。

Erdos个性很独特。有一个好故事：一位名叫Péter Frankl [1935～， 匈牙利数学家， 热衷于街头表演艺术， 曾与Paul Erdos 合写7篇论文， 目前居住于日本。日本名为富兰平太。] 的数学家，目前居住日本。他在匈牙利拿到学位后，被征召入伍，但数学才华与他相当的朋友却能免役，径赴数学研究所。Péter觉得这是因为他是犹太人，于是请Erdos写封信，让他可以离开军队。Erdos写了信，但Péter Frankl一退伍，立即自匈牙利叛逃。这让Erdos震怒，因为他事先不知道Péter会这么做。Erdos告诉他：“你削弱了我的地位，现在我无法用同样的方式帮助其他人，所以我两年内不再对你说话。”在那段时间， Péter Frankl到法国巴黎拿另一个博士学位，而Erdos在授予学位的委员会里。Erdos提交报告时(报告里写说：这是篇杰出的论文)，真的没对Péter Frankl正式说任何话，甚至私下也不和他交谈。两年过去，没事，他依然没有任何改变，在这方面他很固执。

话说，匈牙利曾举办某会议，是非正式的国际会议。Erdos的几位以色列同事想来参加，但碍于以色列和匈牙利的关系不佳，他们没拿到签证。依据法规，召开国际会议时，必须核发签证给参会的科学家，但那场会议是非正式的，不发签证。这让Erdos震怒，放话说：“他们若不向我道歉，我绝不回匈牙利！”结果他等了好几年；众人十分错愕，对他喊话：“看吧，没人会向你道歉。你只会伤了我们这些在匈牙利的，因为你是我们当下国外数学资讯的主要来源。请重新考虑一下，回来吧。”最后他回去了，但他始终立场坚定。

1954年，国际数学家大会在阿姆斯特丹举行， Erdos很想参加。匈牙利当局告诉他：一旦去了，恐怕拿不到再次入境的签证。Erdos说：“听着！我不会让任何政府官员告诉我哪里可以去、哪里不能去。我就要去了！”他赴会了，在美国拿不到回程的签证。之后多年，大家写信给国会议员和其他官员，为Erdos游说及争取。他最终拿到签证回匈牙利，但始终固守一些原则，其中之一是不恋栈身外之物。他只有两个行李箱，一箱装着信件和复印的资料，另一箱只装几件衣服。

1986年在中国济南有一个会议，我们一同从北京搭火车，车上喧闹且闷热。半夜时， Erdos说：“我得下车了，太热了，我睡不着！”我说：“Paul，我们现在是在从北京到山东的火车上，你不能就这样下车啊！你不能啊！”到天津时，我买了些丝袜给他。他皮肤极敏感，但他可能会去没卖丝袜的地方，所以我买了一些给他。有好多关于Erdos的好故事。

刘： 你把他当家人一般地照顾。

G： 是的。当时我们的房子特别留有Erdos的房间。他需要有自己的浴室、电话，也要会用冰箱，半夜才有食物吃。关于这些，还真是有许多好故事。

刘： 这是出自你对他由衷的敬意。你喜欢他，也尊敬他的数学，对吧？

G： 是的。他心肠很好，有颗好大的心。

叶永南(以下简称“叶”)： 他真的很好。

G： 有这样一个好故事：有次他和某人住在一起。清晨四点时，浴室传出巨大声响。他一早去用早餐时，只字未提，最后才说：“你知道的，早上你的浴室里没有发生什么意外，只是有一大瓶碘酒破了，洒了一地。但别担心，我找到足够的毛巾，把它们都吸了起来。”你可能知道，碘渍是几乎不可能清除的。Erdos用意良善，但他的用心并不是都能奏效。

刘： 但你了解他，你说他“好心 (good heart) ”。

G： 他最珍贵的一项财产，是他每天写的数学日志，里头记录他当时在思考些什么。他过世时，这些日记都放在他的邻居兼亲密数学同事Vera T. Sós[1930～， 匈牙利数学家， 研究数论和组合数学。]那里。她持有这些日记，却不让其他人过目。我们问：“为什么呢？”而她说：“喔，我就是不要。”很多人都想了解Erdos过去思考些什么。Erdos会把数学笔记写在右边，而后经常性地回顾，并在左边加上其他注记，像是：“喔！我知道了，这是我之前想过的其他问题的一个特例。”我很想了解：他在从事质数定理 (prime number theorem) 的初等证明[意指只用到基本技巧的证明。特别是在数论中，意指没有用到复分析的证明。]时，想了些什么。

刘： 所以日记仍然存在，但没有人可以过目。

G： 对，她拥有这些日记。共约20册，我复印了其中两册，但它们都是用匈牙利语写的，我看不懂。几年前，他百岁诞辰，举办了800人的大型会议。我想他不曾到过台湾。

刘： 说到这个，今天早上我跟同事刘丰哲提到这次访谈时，他告诉我：你很久以前来过台湾， 1971年吧。

G： 没错，我来过。我在香港待了一个夏天，适逢当地首条隧道开通。我记得，时值李小龙[1940～1973， 出生于香港， 武术家暨国际武打巨星。]亡故。我去台大给了一场排定的演讲，我还保存着报导这场演讲的报纸。我四处旅行，金芳蓉[1949～， Graham 教授的夫人， 加州大学圣地牙哥分校教授， 研究谱图学 (Spectral Graph Theory) 。]在此地， 1970～74年间。

葛立恒与妻子金芳蓉

叶： 对，她是张圣容[1948～， 研究几何分析， 普林斯顿大学数学系教授]、李文卿[1948～， 宾州州立大学数学系教授， 研究数论]和吴徵眉[伊利诺大学厄巴纳-香槟分校数学系教授，研究复分析、机率论及偏微分方程]的同学。

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G： 陈省身为她们那班的四朵“金花”写了一篇文章[陈省身，记几位中国的女数学家，传记文学， 66卷第5期(1995)]。某份数学杂志的编辑声称要把它翻译成英文，但应该还没动工。其实班上有五位才华洋溢的女性，但其中一位早逝，所以实际上有五朵金花。


台湾拍摄的以张圣容和金芳蓉为主角的纪录片《学数学的女孩们》

刘： 杂志名称是“传记文学”。你和很多人交往，在多方向做研究。可否问个问题：什么研究带给你最大的快乐？或是说什么工作对你来说最难完成？

G： 嗯，我想数学是很特殊的。小时候，我喜欢的其实是天文学，觉得星星很有意思，但之后发现天文学家不光是看星星；他们不是看望远镜，而是用电脑去分析从望远镜得到的数据。不过这仍令人惊叹！

有人问我为什么玩那么多杂耍 (juggling) ？玩杂耍的人，很多是来自数学界或电脑科学界，历史和哲学领域里玩杂耍的较少。何以致此？个中关联似乎是，数学时或被描述成模式 (pattern) 的科学，我们是在追寻模式。杂耍是一门在时间和空间中掌控模式的艺术。常言道：杂耍的症结是，球确实到达的位置，取决于你如何扔出，而非依照你的期望。电脑运作程式时，完全遵照你的嘱咐，但不会有指令说：“喔，你应当知道我的意向。”它不知道你的意向是如何，你必须告诉它！数学里有无穷无尽的挑战，你永远解决不完所有的问题。每当你写了篇论文，就会有所延伸，诸如去探询更高的维度。杂耍也总会有越来越难的花招。很有趣的是，过去耍七颗球是非常困难的技巧，现在则已司空见惯，难度持续上升中。

YouTube上有段耍九颗球的影片，杂耍者一面耍球、一面将九颗球抛到背后，难以想像。这看似不可能，但总有坚定有毅力之士。一旦你目击一些事情是可能的，心里就有所领会。好比当年出现首位四分钟内跑完一英里的人。那成绩看来无法企及，但一旦有人做到了，就会有更多人达成。


葛立恒在玩杂耍，5颗球

刘： 我记得有位名叫Bannister[1929～2018， 英国著名赛跑运动员和神经学专家， 是第一位于4 分钟内跑完1 英里的人]之类的人物，相当晚近，似乎在70年代……;

G： 我认为Roger Bannister是第一个做到的，目前纪录大概是3：45左右。现在普遍认为会有人可以在两小时内跑完马拉松，但几年前这听来似乎不可能。[编者注：目前的记录是2小时1分39秒，由1984年出生的肯尼亚运动员Eliud Kipchoge 保持]

叶： 你也曾是专业的蹦床[蹦床为体操项目， 2000年悉尼奥运正式列入比赛项目之一]选手？

G： 是的，蹦床也是一种的杂耍形式，以你自己为抛弹的主体，所以不可抛丢！我父母在造船厂造船，因此我小时候经常搬家，每年念不同的学校，从来没真的好好念高中或国中。我跳过级，没念过12年级，15岁就去上芝加哥大学， Carl Sagan[1934～1996， 美国天文学家、 宇宙学家、 科普作家。小行星2709 及火星上的一个撞击坑以他的名字命名。他因撰写多部科普著作及电视影集而享誉全球， 曾获普利兹奖]是我的同学。我在那里接触到体操和杂耍。芝加哥大学有个社团，每周聚会数次，学习各种不同的马戏技巧，如杂耍、单轮车、体操……等。到高中巡回表演， 展示芝加哥大学是个多么有趣的地方， 成了一个招生的手法。蹦床是其中一部分。我到现在还保有一个弹翻床。如今世界水准急剧上升。蹦床在澳大利亚奥运会上被引介， 成为奥运项目。中国眼见蹦床成为奥运项目， 企图成为世界第一。中国有了最好的教练、 最好的设备、 及最好的运动员， 如今举世无匹。毫无疑问地， 他们是世界第一。

刘： 而且他们很小就开始训练。

G： 是的，但要有好的训练。他们有大量人口可供挑选，再加上精良的训练技巧，有些表演技艺真令人叹为观止。表演者经常弹跳10米高。以往，蹦床上有人时，你站到床附近，在他飞过时，试着从下方抓住他。现在如果有人从米高坠落，你再也不用这样做了；取而代之的是，你扔一个防护垫，然后说：“祝你好运！”另外，蹦床上还有框架垫，落到上面安全无虞；即使有些闪失，也无妨，大命可保。

我们谈到这些事物，有一个基本原则：要理解一项复杂的东西时，你可以把它分解成几个小的部分；掌握小的部分后，再它们凑合在一起。举个例子，我正在研究这个方块。想想当你长途飞行时，有什么事情可以做？有这个魔方 (Rubik's cube) 。

叶： 这是9×9×9 的？

G： 不是，是7×7×7的。如今已制作出各种不同的尺寸。四十年前魔术方块初问世时，是3×3×3。之后希腊有位人士，习得制作技术，做出更大的魔术方块，最大可达7阶左右，但转起来不很顺畅。中国大陆有更好的建构技术，目前尺寸可达17阶。这些立方体的每个面，都有很多像素 (pixels) 。去年夏天， MAA (即美国数学协会) 百周年纪念会议上，我将MAA和100的字样印在13×13×13立方体的面上，致赠他们。

这看起来极其复杂，但其实并不复杂，因为有标准技巧如下述：首先让各个面的中央区[不在周边的部分]呈单色。这是个奇数尺寸的立方体，所以中央区始终置中。这是第一步，花了我半小时左右来确实完成每一面。然后你让周边的颜色一致[亦即，在角落方格外的部分有单一颜色]，但周边的内部不需要与面的中心部分同色，很快地，所有面的中央区呈单色，且所有周边的颜色布局一致。接着，你可以想像你有个3×3×3魔术方块，其中央层非常肥厚，于是7×7×7方块等价于3×3×3方块，而你接下来就可以套用3阶的演算法。

这个想法就是：把看似复杂的东西，简化成许多较小且较单纯的区块。这就真的数学化了。通常当立方体渐趋完成，你的任何动作都会破坏之前完成的部分；你不想如此，因此需要一些步骤来移动少量的方格。这里有各种等价类：边上的任何方格都和内部的方格不同类，我不能把这里的方格放在那里；角落上的八个方格等价，我可以把它们放在这八个角落的其中任何一个位置上，但不能把它们放在非角落的区域。所以这两个方格是等价的。举例来说，我想把这个方格放在这里，于是我开始填补白色这面，想把这个方格放在这里。现在的想法是：这方格即将放在这位置，所以我把这个方格移上来这里，接着旋转这个面，而后回复成之前的样子；这过程形成代数上所谓的3-循环 (长度为三的循环) 。所以……我要做的就是……这方格……现在放在上方；接着我旋转这个面， 而后再把它转回去；现在我把它放到底部。我所做的就是处理这三个方格， 重新排列它们， 恰好是3-循环。

叶： 还记得四十年前，我玩魔方，玩到有点疯狂，无法停止思考，就是停不下来。我年纪很小时就试着自己搞定它，而后就着迷了。我无法停止，也无法入睡，一心一意只想着这些。我真是太疯狂了，兄弟姐妹都叫我停下，但我就是无法停下。最后，我到郊外山区某处，大吼大叫地跑着，最后觉得非常、非常地累，昏昏睡去，才终于停下来。

G： 嗯！我无时无刻不在想它。如果你勇于挑战，会发现这里有个方格。这是第二层的第3、 5和6号方格。嗯，你看这面， 3、 5、 6，第二层的，这三个可以换到这里。有个步骤可以同时把这三个移到那里， 3、5和6 ……回到上方，转个面，然后……3、 5、 6，现在我把它们换到那里了。所以我简单地说，一旦你完成了面和边的部分，还有一些事……可能发生的是，虽然有一个群结构在，因此你可以任意移位，但有时还是会陷入棘手的状况：一切都完美，就差了个乱糟糟的边！这就是所谓的宇称性问题 (parity problem) ，只会发生在偶数阶的魔术方块上。有些复杂的步骤可以解决这样的状况。正如蹦床，当你持续注视魔法，一切了然于心；当我看着它，我凝视着我打算移动的方格，不看其它方格。

当今人类的能力极限让人惊叹，譬如竞速赛的最佳比赛记录是8秒。还有个竞赛，先把数个魔术方块打乱，而后让你逐一端详，接着戴上眼罩去解它们；目前的纪录是50。

叶：50秒吗？

G：不是，50个！戴上眼罩时，你只知道目前在解第37个、第38个、第39个等等，由其他人总计你解决了几个。YouTube影片上的某玩家，解了50个魔术方块中的49个，不过我认为他其实是可以搞定全部50个。你必须记得每个魔术方块。

有个3阶魔术方块的问题是：若想解决任意打乱的魔术方块，至少需要多少步骤？必要的步骤多达几个？Google服务器列举了所有可能的位置，发现你在20个步骤内，一定可以还原任何被打乱的魔术方块。事实上，通常17个步骤就够了，只有少数情况需要20个步骤。但竞速的选手通常不会使用最少步骤的演算法，因为这要花过长的时间去心算。

叶： 你对拉姆齐数 (Ramsey number) R(5，5)的值有何看法？15 年前， 有人声称这个问题会在几年内被解出来。

G： 我认识的人都没说这个问题会被解决。Erdos有个好故事：一些外星人要求我们算出拉姆齐数R(5，5)，否则要摧毁我们。好吧，世人通力合作个几年，可能算得出它。但如果他们要的是R(6，6)，那就只好攻击他们， 因为我们无法计算它。

叶： 那是个广为流传的故事，没错！

G： 譬如，这个立方体有超过 10^160 种布局，你无法确实列出每一种，来找出最少步骤的解。10^160已超出我们所能计算的范围了。

如同许多领域，在组合数学，无法解出原来的问题时，你可以将问题一般化，而后去解不同的特例。思考原来的拉姆齐数问题时，你可以着眼于 m 个顶点的完全图Km，把它的边上色，得到5或6个顶点的单色子图。你不会得到红色 K5 和蓝色 K5 ，但或许能得到单色的红色 K5 或蓝色 K3 ，这是对角线外的情况。众人对这些已有较多了解；一旦完全理解它们，或可计算出R(5，5)。

70年代， Kenneth Appel 和Wolfgang Haken 借助电脑解决四色问题。Haken认为不存在人类可审视的简短证明；这是问题的本质使然。四色猜想是对的，因为它在很多特殊情况是对的；如果该猜想在某情况下不成立，定理就不成立。你可以对一些算术系统证明：n个符号足以陈述的某定理，其最短证明的长度为n的双重指数，因此你永远无法将该证明写下，尽管它证明的是定理。

数论有个后设猜想 (meta-conjecture) ：若要证明一个数n是质数，则符号用量的成长速度至少是logn。若真如此，则无法证明形如10^10^73+3的数是质数。你或可援用机率测试 (probabilistic test) ：如果它是合成数，一半时间会说它是合成数，而另一半时间不置可否。这并不表示它是合成数；这是证据，但却称不上是证明。

有一个可能：我们所熟悉的数学定理，或许正好都有很短的证明，让人类可以确实写下，比如说一百页之内。有限单群 (finite simple groups) 的分类呢？你可以用一页纸来陈述这个问题，但最短的证明会是如何？可以在一百页内完成吗？我不这么认为。一千页呢？或许吧！那个证明被分成好几个小部分，不同的部份由不同的人担纲。Conway 那时还希望在这群人宣布证明后，能找到其中遗漏的某个单群，但他说：“不，他们可能提出完整的分类了。”我想，当时他们之中有些作者仍盼着自己是最后完成的人；如果你是最后完成的人，就可以说：“我终于完成它了！”

开普勒猜想 (Kepler conjecture) 的证明，虽被Annals of Mathematics接受【Annals of Mathematics, 162 (2005), 1065–1185】，却附带一则免责声明：众多审稿人审查了这篇文章，但它如此繁复，而且需要依赖如此大量的电脑计算，因此这个证明无法完全被验证。但他们95%相信它是对的。据我所知，目前已有人提出形式化的证明 (formal proof) 。

当电脑声称某事是对的时，你相信它吗？一百页的证明？我较相信电脑，较不相信人！即使Feit-Thompson关于奇数阶群的论文 ，原稿的第一版也有一些错误，但Thompson 说：“别担心，我们会修正它们。”事实上， Appel和Haken发表论文后，还有篇后续论文，名为“四色证明足矣” (“the four color proof suffices”) 。重点是，论文的首版往往不完美，但我们总希望学界的其他人能参与其事，协力找到完整简洁的证明。我们很失望学界没这么做。顺带一提，四色定理也有形式化的证明了。

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刘： 你曾在贝尔实验室多年，那是你数学生涯的一段重要章节。

G：当时贝尔实验室有个很强的团队。贝尔实验室曾是AT& T的一部分，而AT& T执掌美国电话网络。贝尔实验室比较像是一所大学，但你不用授课，又有实际问题可以探讨。电晶体在那里被发明，资讯理论的奠基者Claude Shannon也在那里任职。此外，举例来说，Unix作业系统是在那里创建的。我们有个非常强大的数学团队，金芳蓉隶属其中；我和她的指导老师Herb Wilf 初结识时，是在贝尔实验室，而不是在Wilf执教的费城。

但世局多变，变动速度与日俱增，我刚去那里时，其他人告诉我，我的研究成果在未来一、二十年还无法应用，我想这倒无妨，反正之后他们仍会在那里，可以利用我的成果。而今，三年就被认为是非常长的时段了，因为电脑世界三年已历经两代。我正在用的iPhone 6+，已经落伍了。

叶： 他们说最新的版本是iPhone 6s，很快就要出iphone 7了！

G： 下一代的产品通常较优质，但不会比较便宜，而且总会在不久之后问世；何必现在购入呢？我们通常用Apple的产品，决定试试看Android手机，买了Galaxy6，很不错；它和iPhone稍有不同，但有些很好的特性。这些公司必须竞争，精益求精。这有点像在学习；做符号计算 (Symbolic Computation) 时，我通常使用Maple，尽管大家都用Mathematica、 Matlab和Sage。最麻烦的是转换软体，要经历一番学习过程，譬如：用什么方式宣告列表 (list) 、字串或向量？要把小括号、中括号、大括号放在那里？什么时候应该要用分号终止指令？不变不换较为省事 (Apple产品又是另一回事) 。但世界很大，你应该多体验。我在贝尔实验室的工作，容许我四处旅行，因此有时我整学期到外地授课。我也到实验室附近的西东大学 (Seton Hall University) 学中文。

大自然的运行致使你接触到许多好问题。来自大自然的某些东西，可能正好促成某些事情。举例来说，我们曾遇到过一个涉及雷射的问题，希望雷射中有某些光的介质，好让光经过时吸收能量；我们的构想是在每一端放一面镜子，让光束来回多次，汲取大量能量。但你必须让光束离开雷射，所以你在一端放个小洞，好让光束逃逸。光束的影像在每一端都由小圆圈组成。最终要找的，是这些圆圈所覆盖的区域范围。我们为这些圆圈找到极佳的模式。组装好配置后，我们希望看到它运作。麻烦的是，光束落在红外线光谱，所以我们无法看到任何东西。嗯，不论如何，它可以运作。

刘： 数学有许多面向。你认为来日的数学研究本质上会是如何？

G： 这问题很有意思。菲尔兹奖得主Timothy Gowers近日在一篇文章中谈到：2099年之前，电脑或可完成所有重要的数学。电脑会提出猜想、找到证明。而数学家的工作，是试着去理解和运用其中的一些结果。

电脑不断地进步。我在日前的演讲提到，某位人工智慧的研究员编写了程式“Graffiti”，从而提出图论方面的诸多猜想，目前猜想个数已达六千；金芳蓉几年前对其中一个猜想找到一个不很显然的证明。编写它的研究员表示，最困难的是去判断各个猜想是否有趣。目前的电脑并不是那么擅长找证明，但它们至少还善于做猜想。

你可以在多项式时间内分解整数吗？如今有了所谓的量子运算；如果你造出真的量子电脑，就可以在多项式时间内分解整数。那么，有任何造不成它的理由吗？物理学家起初预期会有难以克服的天然障碍，但目前普遍认同打造成功的可能性。困难的是，缠结的 (entangled) 量子位元 (qubits) 要够多，且要孤立够久，方可做出有趣的事。近千个量子位元可能就够用，但目前的系统仅有数十个位元。不过，实验学家十分聪明机智，我们且拭目以待，等个几年。

叶： 南京大学的孙智伟是计算数论 (Computational number theory) 学家，提出了很多很多组合数论方面的猜想。对第n个质数的性质，他总能提出出人意表的猜想。

G： 他做了许多电脑实验。几年前，他实地走访加州一学期。当年六月在温哥华有个会议，他和姚期智等多人与会， Don Knuth 也在那里待了五天，十分难得！

叶： 正如你所言，许多人在用电脑。

G： 没错。质数看似随机出现，很多很多的猜想植基于此。但事实上质数不是随机的。正因为它们不随机，所以有诸多让人惊叹的性质。它们实际上是确定的 (deterministic) ，但有些性质让它们看似随机。如果它们确为随机，许多猜想就会有明显的答案。举例来说，有个我悬赏1000美元的猜想，是关于二项式系数的中间项 ， 2n取n；在巴斯卡三角形，它是每一行的中央项。这一项始终是偶数 (这很容易证明) 。有个问题是：二项式系数的中间项 是否和3互质？例如当n=3时，也就是6取3，结果为20。嗯，它会和5为互质吗？再举个例，当n=7，也就是14取7，等于3432，与5、7互质。这个值1000美元的问题是：对于2n取n，是否有无限多个n，使得  和3、5、7都互质？换句话说，它和105互质。我想答案是肯定的。

理由如下述。任取质数p，你或许会问：二项式系数中间项 可以被p的几次方整除？嗯，有个方式可得到答案。将n写成p进位展式，接着加n，这么一加导致p增加的幂数，就是整除  的p的幂数。意即， 不被p整除，若且唯若把n加上n时p的幂数未增加；此时， n以p为基底展开的各个系数，都小于p/2；譬如，当你把n写成3进位，系数只会是0或1；写成5进位，系数只会是0、1或2;写成7进位，系数只会是0、1、2、3。那么，这三件事会同时发生吗？想像你用3进位和5进位写一个很大的数字，它们的系数应该互不相关 (可能会相关吗？) 你可以用几率估计：有多少个不大于x的n会让上述三件事同时发生。答案约为x的0.01次方。幂数为正的事实告诉你， n应该有无限多，但没有人能证明这答案。

Erdos、 Rusza和我证明了这种状况会发生于任意两个质数。那么，对3、 5、7、11这四个质数呢？现在你进行相同的机率计算，比x小且与这四个质数都互质的数，个数是x的负数次方 (此负数很小) ，因此其个数是有限的。3160似乎是最大的了。至少到10的10000次方，它是最大的，在3160到1010000之间没有其他的，所以3160大概是最大的。如果你相信它们的行为具有类随机性，则理应如此。但如果你试图证明它，情况可能与正规数 (normal numbers) 的证明相若。数字n对b进位是正规的，若且唯若b进位的所有可能数字都(渐近地)出现相同的次数，更一般地说，对所有k，b进位的所有可能数字在所有 k-元组 ( k-tuple) 都 (渐近地) 出现相同次数。绝对正规数（abosolutely normal number）是那些对每个b，它的b进位都是正规的数。几乎所有数字都是绝对正规， 但没人可确实举出一个实际例子。这显示我们还有很多东西要了解。

刘： 这就像几乎所有数都是超越数，却很难证明特定一个是如此。

叶： 随机的事物广受关注。我听说你正在研究准随机性 (quasi-randomness) ；那是什么？

G： 对于行为类同随机事物的对象，你乐于找到它们的明确构造，但如果你可以建构出它们，就会更了解它们的性质。若以1/2的机率决定各对顶点是否以边相连，会形成一个图，而后你几乎可确定某些事情。举例来说，如果你着眼于一半的顶点，那么你预期多少边会形成呢？没错，你会预期半数的边出现。或者，你考虑其邻接矩阵 (adjacency matrix) ， i顶点和j顶点有边相连时(i，j)为1，否则(i，j)为0。接着你观察其特征值；对称矩阵特征值为实数，所以最大的特征值大约是n/2，而其他特征值为o(n)。

这是准随机性。有几十个这类性质是等价的；你的图如果具备其中一个性质，必定也会有其他所有性质。这种行为很像随机图 (random graph) 。Szemerédi 36 正则性引理 (regularity lemma) 说的其实是：你把任意一个图分解成有限数量的子图，而后任取两个子图，它们组成的二分图 (bipartite graphs) 几乎可以确定是准随机的。

2017年， Simons计算理论研究所 (Simons Institute for the Theory of Computing) 举办拟随机 (pseudo-randomness) 和准随机 (quasi-randomness) 的特别半年，我和金芳蓉都在那里……

刘： 在何地？

G： 柏克莱。

刘： 嗯嗯， MSRI？

G：MSRI在山上，而这是校园内的新大楼。很高兴去年能待在那里几个月！James Simons是我在柏克莱的同学。他赚了大钱，大量回馈给数学。有个很好的线上杂志Quanta【https://www.quantamagazine.org/】，你们读过吗？那是Simons基金会发行的，刊登数学、物理、生物等学科的好文章和人物访谈。

刘： 看得出来你从数学中得到许多乐趣，非常好！

G： 如果它无趣，何必做它？是吧？我告诉学生，无论你选择什么为职业，最好确实喜欢它；因为不论你选择了什么，都将长时间从事它。

你读过ICCM Notices【https://intlpress.com/site/pub/p ... nt/_home/index.html】吗？几年前，我首次在那里发表文章。

许多演讲内容经年累积，而后再参酌最近的成果。譬如谈到张益唐，目前确认的质数间隙 (prime gap) 已降至246，但上次我给演讲时是270，所以昨天改成246。有个网站会登载当前记录。再如当前所知的最大质数是2^77,232,917-1， 这似乎每隔几年就会改变。

刘： 有些猜想，在直观上很容易掌握，感受上又令人兴奋，譬如孪生质数猜想，你可以讲给任何懂乘法表的人听。基本上，还有其他需要花时间解释的猜想。你提到未来的数学研究，其中一项或可幸存的，我想是易于解释又让人兴奋的猜想，它们显然会让人振奋。譬如孪生质数，或是Goldbach猜想：任意大于2的偶数都是两个质数的总和。

叶： 没错，两个质数的总和。

G： 每个大于2的数。最近的结果才刚证明，每个大于5的奇数都是三个质数的总和。众人持续推动进展，不过要搞定孪生质数，我认为需要更多东西。

我喜欢张益唐的故事。我刚从维基百科得知他现在是Santa Barbara的教授。有部关于他人生的电影，非常不错，一小时而已，很平静，我喜欢。他的夫人在加州，非常活跃又爱跳舞。我倒不觉得张益唐是个爱跳舞的人。

刘： 我想我们可能要就此打住，我们聊了一个半小时，很有意思，非常感谢你。希望不久的将来在台北见到你。

* 本文访问者刘太平任职中央研究院数学研究所， 叶永南任职中央研究院数学研究所。