试证（Polya）：e／(2n+2)＜e-(1+1／n)^n＜e／(2n+1)（n∈N+）

elim

elim

程咬金三斧头, 分析一斧头: Taylor 展开.

elim

elim

波利亚的这个不等式说明了什么？永远能指出一二？

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。

王守恩

elim 发表于 2019-9-19 14:23
波利亚的这个不等式说明了什么？永远能指出一二？

试证（Polya）：当 a=11/6 时，e/(2n+a)=e-(1+1/n)^n（n∈N+）

elim

王守恩 发表于 2019-9-19 20:48
试证（Polya）：当 a=11/6 时，e/(2n+a)=e-(1+1/n)^n（n∈N+）

如果 e/(2n+a) = e-(1+1/n)^n（n∈N+）
那么 a= e/(e-(1+1/n)^n) -2n（n∈N+）．
所以 a 不是常数，更不是有理数．

王守恩

elim 发表于 2019-9-20 16:58
如果 e/(2n+a) = e-(1+1/n)^n（n∈N+）
那么 a= e/(e-(1+1/n)^n) -2n（n∈N+）．
所以 a 不是常数，更 ...

谢谢 ellm 老师！
我们只能说：(1 + 1/(2 n + 5/6))(1 + 1/n)^n 向 e 靠拢的速度极快。

elim

王守恩 发表于 2019-9-20 02:27
谢谢 ellm 老师！
我们只能说：(1 + 1/(2 n + 5/6))(1 + 1/n)^n 向 e 靠拢的速度极快。

你是对的. 对常数 a, 形如   (1+1/(2n+a))(1+1/n)^n 的序列当 a = 5/6 时趋于 e 的速度是 O(1/n^3)
而对其它 a, 相应的速度是 O(1/n^2).

你知道为什么, 能够证明吗?

王守恩

elim 发表于 2019-9-20 20:42
你是对的. 对常数 a, 形如   (1+1/(2n+a))(1+1/n)^n 的序列当 a = 5/6 时趋于 e 的速度是 O(1/n^3)
而对 ...

给出 n=1,2,3,4,5,....相应数据。
(n=01)2.7058823529411764705882352941176470588235294117647,
(n=02)2.7155172413793103448275862068965517241379310344828,
(n=03)2.7172538392050587172538392050587172538392050587173,
(n=04)2.7177918632075471698113207547169811320754716981132,
(n=05)2.7180110769230769230769230769230769230769230769231,
(n=06)2.7181167383713680009976306272602568898865195161491,
(n=07)2.7181738339198623126410228035410770457439940202463,
(n=08)2.7182073563632398548692759900990099009900990099010,
(n=09)2.7182283204767297757240154819990586964003213682583,
(n=10)2.7182420981848000000000000000000000000000000000000,
(n=11)2.7182515233674957341605383001526097389660502083594,
(n=12)2.7182581878176182204458229656040663103276669236734,
(n=13)2.7182630327758837324238805049373643807454296055671,
(n=14)2.7182666391783561879813778697544559807431751140439,
(n=15)2.7182693788434191242457881606912261302870984848853,
(n=16)2.7182714972863947783193491331704147747069757389198,
(n=17)2.7182731610735338198821025263474505075721192381595,
(n=18)2.7182744859238669732499399983744589403338731560269,
(n=19)2.7182755539359070078794890965247741811918032086733,
(n=20)2.7182764244540794025318494777679443359375000000000,
(n=21)2.7182771410994770863680885912641596718286659268268,
(n=22)2.7182777364233894267783355670535426725216956066383,
(n=23)2.7182782350509974286128895429371276026778250012708,
(n=24)2.7182786558447427200867626171698414316811583427737,
(n=25)2.7182790134183200584775050838002137886273688155769,
(n=26)2.7182793192126129512284897429324741207286849691316,
(n=27)2.7182795822711623919619247826890479518566602101727,
(n=28)2.7182798098063676105693604784738616768258097949849,
(n=29)2.7182800076178688080129848326259648215707099305555,
(n=30)2.7182801804051487538079604110723716760373958786405,