[分享]求正整数n,m 使得 2^n + n = m!

elimqiu

求正整数n,m 使得 2^n + n = m!

elimqiu

试证这是唯一解。

ataorj

1 n奇数则无解 2 n<2^n,则n中2因子数就是m!中的2因子数 3 n=2,m=3:2^2+2=3! 4 n由2这一个2因子增加至t个时,n=2^t*k,等式左边为: 2^(2^t*k)+2^t*k,舍弃2^t*k,左边为2^(2^t*k) 而等式右边最多可增加(t-1)个偶数,最多可增加t个"成员",右边现在最大值为(3+t)! 5 比较A=2^(2^t*k)和B=(3+t)! A增加一个2因子则A增大A倍,而B增加1个"成员"时新"成员"只会小于B,即B增大不至平方级.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ataorj 在 时添加 -=-=-=-=- 所以,起点2^2+2=3!之后,左右永远不会再相等.

ataorj

更正:
而等式右边最多可增加(t-1)个偶数和t个奇数,右边现在最大值为(3+(2t-1))!
舍弃-1,即(3+2t)!
5 比较A=2^(2^t*k)和B=(3+2t)!
A增加一个2因子则A增大至A倍,而B增加2个"成员"时新"成员"积只会小于B[注:当t>1],即B增大不至平方级.[至于t=1,主题无解而排除]
所以,起点2^2+2=3!之后,左右永远不会再相等.

elimqiu

ataorj 先生的思路，结论都很对，只是多少个偶数的积与该积有多少个因子2 不是一回事。论证不够力。

ataorj

是的,不是一回事.
但是我推导中总是偏护右边的,但是它仍然无法跟上左边步伐.
左边舍弃时左边更小,右边舍弃时右边更大.
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"多少个偶数的积与该积有多少个因子2 不是一回事"
我假定每个偶数仅仅一个2因子,这仍然是偏护右边使它获得添加成员的机会而已.

elimqiu

ataorj

"最多可增加"不妥,"增加不超过".

elimqiu

下面引用由ataorj在 2013/11/30 03:30am 发表的内容：
是的,不是一回事.
但是我推导中总是偏护右边的,但是它仍然无法跟上左边步伐.
左边舍弃时左边更小,右边舍弃时右边更大.
--------
...

我明白了。其实我们的解法区别不大。只是都不够简捷清楚。还望各位看看是否有更好的解。