四色猜测的创新证明（修改稿）

雷明85639720

四色猜测的创新证明（修改稿）
雷  明
（二○一九年九月二十一日）

1、四色猜测是在1852年由法朗西斯提出来的。现在已由一个给地图中区域染色的问题转化成一个给平面图中顶点着色的问题了。在顶点数相同的平面图中，以极大图各顶点间的相邻关系最为复杂，边数也是最多的。所以只要证明了极大图的四色猜测是正确的，对极大图经减边所得到的任意平面图的四色猜测也就是正确的了。因为极大图减边后的图的色数只会减少而不会再增加。又由于地图（即3—正则的平面图）与极大图是互为对偶图的，给地图中的面（即区域）的染色也就相当于给极大图的顶点着色，所以极大图的四色问题解决了，地图的四色问题也就得到了解决。
2、由于平面图中总存在着度小于等于5的顶点，所以在着色过程中，总可以把最后一个要着色的顶点（待着色顶点）放在这种顶点之上。把含有一个顶点未着色的图叫做构形，把与待着色顶点相邻的顶点叫围栏顶点。则平面图就有六种不可避免的构形，他们的围栏顶点数分别是0，1，2，3，4和5。由于围栏顶点都是处在一个以待着色顶点为中心顶点的轮上，所以这些构形也叫轮构形。
由于围栏顶点数小于等于3的构形和围栏顶点所占用的颜色数小于等于3的构形中，在图中已用过的四种颜色中，至少一定还有一种颜色可以给待着色顶点着上，所以我们又把围栏顶点占用颜色数是4的一部分4—轮构形和5—轮构形叫做染色困局构形。由于平面图有无数多个，每个图中也可以有无数个顶点，每一个顶点的度也可以是无数多的，这就把一个研究对象是无穷多的四色问题转化成了研究对象只是有限的两种，即4—轮和5—轮构形的两种染色困局构形了。
3、坎泊早在1879年的证明中，除把5—轮染色困局中的含有双环交叉（所谓双环交叉是指在BAB型的5—轮构形中，A—C链和A—D链不但是连通的，而且在中途还有交叉的顶点）的构形漏掉了（1890年赫渥特构造了赫渥特图，已经指出了坎泊证明中的这一漏洞）外，已证明了4—轮和5—轮染色困局中的其他各种情况都是可4—着色的。现在证明四色猜测，主要就是要解决含有双环交叉的5—轮构形的染色困局是否是可4—着色的问题了。
4、在双环交叉的构形中，A—C链和A—D链分别是连通的，不可能使用坎泊的颜色交换技术。虽然B—C链和B—D链各不连通，但却不能通过坎泊交换，连续的移去两个同色B。因为在使用了坎泊的颜色交换技术移去了一个B后，就会产生从另一个B到其对角围栏顶点的连通链，而不能连续的移去两个同色B，使得两条关于B的链也不能连续的进行交换。现在只能再看A—B链和C—D链是否可以交换了。
A—B链和C—D链是两条相反链，不可能有共同的顶点，也就不可能相交叉。两链中如果有一条是环形的，则另一条一定是被该环形链分隔成了环内、环外互不连通的两部分。这就为我们破坏5—轮染色困局中的A—C链和A—D链的连通性创造了条件，使得这种染色困局能够得到解决。
5、如果5—轮染色困局中有经过了围栏的三个顶点的A—B环形链时，它就把图中的C—D链分隔成了互不连通的两部分；如果5—轮染色困局中有经过了围栏的两个顶点的C—D环形链时，它也就把图中的A—B链分隔成了互不连通的两部分。交换环形链两侧的任一部分相反链，都可以使连通的A—C链和A—D链断开，使图成为坎泊已证明过的是可4—着色的非染色困局构形。赫渥特图中就有经过了围栏的两个顶点的C—D环形链，其解决办法就是交换环形的C—D链两侧的任一条A—B链，从而使图转化成不含连通的A—C链和A—D链的非染色困局构形的。1992年雷明和董德周就是及这种方法给赫渥特图进行4—着色的。
把具有A—B环形链或C—D环形链的构形，叫做有环形链的染色困局，而把无环形链的构形叫无环形链的染色困局。解决有环形链的染色困局的办法叫断链法。而无环形链的染色困局由于A—B链和C—D链都是直链，即就是交换了也不起任何作用，所以只有采用交换一个关于B的链，使构形发生转型的办法了。然后再看新转型后的CDC型构形或DCD型构形是否可4—着色了。若仍不可4—着色，就继续的进行多次同方向的转型。但这种转型的次数，一定要能够证明是有一个界限的，才能说明任何一个无环形链的染色困局都是可以经过有限次转型后，也一定都能转化成可4—着色的非染色困局构形。
6、平面图中有一个叫做埃雷拉图的极大图，这个图是一个有环形链的构形，是可以4—着色的（埃雷拉图是在1921年由埃雷拉给出的，其中含有经过了围栏的三个顶点的A—B环形链，1935年Kittell是在A—B环形链一侧交换C—D链，解决了该图的4—着色问题的）。虽然如此，但对其进行转型时，却是一个以每20次转型为周期的无穷循环转型的构形，且逆时针转型和顺时针转型有同样的现象。这就提示我们不但可以从理论上把染色困局分成无穷循环转型的构形和有限转型的构形两大类，而且也为我们证明无环形链的染色困局在施行转型时的转型次数的上界（最大值）创造了条件，使四色猜测可以最终被证明是正确的。
7、无穷循环转型的埃雷拉图的循环周期是20，那么有限转型的构形无论在施行那个方向的转型时，则必须在两个第20次转型，包括两个第20次转型之内，转化成一个可以连续的移去两个同色的构形。否则，图就是一个无穷循环转型的构形了。但这却是不可能的事，因为我们这里研究的就不是无穷循环转型的构形，而是有限转型的构形。在这两个第20次转型之内，一共有41个构形，这41个构形中的任何一个，无论向那个方向转型时，则是一定会在40次转型之内转化成一个可以连续的移去两个同色的构形的，且两个方向的转型次数之和也一定是不会大于40的。在转型的过程中，如果形成了有环形链的构形时，就要及时的采用断链法进行处理，以尽早的对束转型。
若一个有限转型的染色困局逆时针转型的次数是X，顺时针转型的次数是Y，则有0≤X≤40，0≤Y≤40和0≤X＋Y≤40的关系。转型最后得到的这个可以连续的移去两个同色的构形，再经过两次空出颜色的交换后，就可空出颜色来给待着色顶点着上。所以，交换的总次数是2≤X＋2≤42和2≤Y＋2≤42次。这是因为每一次转型实质上也就是一次交换，所以X＋2和Y＋2是总的交换次数。
8、7中的证明完全是从理论上进行的,是否正确,可以再拿到实践中去检验一下。我们对无环形链的染色困局进行转型，并且在每一次转型后，都在平面图范围内，尽可能的构造从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链，再造成新的染色困局的局面。我们所转形过的图都是在施行了三次转型后，图就变成了一个可以连续的移去两个同色的构形，总共只需要交换五次，就可以使染色困局得到解决。比理论证明的42交是要小得多的。但由于无环形链的染色困局也是无穷多的，不可能使每一个无环形链的染色困局都得到检验。所以我们还是以论理证明为准，把有限转型的最大转型次数确定为40，最大交换的总次数定为42。但这也并不是仅仅只因为这个原因。的确，我们也已经构造了需要交换20次以上（最大构造了需要交换次数是26）的染色困局。我们所检验过的构形仅仅只是无环形链的构形，而并非是能够代表所有非E—图的构形。因为非E—图构形中，除了含有无环形链的构形外，还存在大量的有环形链的构形。的确，我们所构造出的交换次数大于20次的构形，都是含有经过了围栏顶点的环形链的构形。因此可以说，有了40（或42）这个界限，就能说明任何无环形链的染色困局或者说任何非E—图的染色困局，都一定能在有限的转型交换之内，得到可4—着色。
9、现在我们已经证明了坎泊证明中所漏掉了的双环交叉的染色困局在各种所有的情况下都是可4—着色的，加上坎泊已证明了的是可4—着色的染色困局，则所有的染色困局就都是可4—着色的了，平面图的所有不可免的构形也都是可4—着色的了。所以，这也就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一九年九月二十一日于长安

注：此文已于二○一九年九月二十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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